Martingal

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Martingal ein stochastischer Prozess, in dem der Erwartungswert einer Beobachtung gleich dem Wert der vorigen Beobachtung ist.

In die Mathematik wurden Martingale von Paul Pierre Lévy eingeführt.

Definition

Sei $\{(M_{t}),({\mathcal {F}}_{t})\},\;\;t\in T$ ein stochastischer Prozess mit einer beliebigen, geordneten Indexmenge $T$.

$M_{t}$ heißt ein Martingal bezüglich einer Filtrierung ${\mathcal {F}}$, wenn $M_{t}$ für jedes $t\in T$ integrierbar ist, an die Filtrierung ${\mathcal {F}}$ adaptiert ist und

$E(M_{t}|{\mathcal {F}}_{s})=M_{s}\;\;\;\forall \;s\;\leq \;t$

gilt.

Die letzte Bedingung kann so interpretiert werden, dass ein Martingal ein faires Spiel ist, da der Erwartungswert einer zukünftigen Beobachtung gleich der letzten getätigten Beobachtung ist. Wenn der Wert eines Martingals zum Zeitpunkt $s$ bekannt ist, dann ist der Erwartungswert zukünftiger Beobachtungen nicht von Werten, die vor $s$ beobachtet wurden, abhängig.

Damit gilt noch nicht zwingend die Markov-Eigenschaft, dass die Verteilung von $M_{t}$ lediglich von $M_{s}$ abhängt. Zum Beispiel kann die Streuung des Martingals auch von Beobachtungen vor $s$ abhängen.

Definition im Falle der natürlichen Filtrierung

Im zeitdiskreten Fall wird ein stochastischer Prozess $\{M_{1},M_{2},\ldots \}$ als Martingal bezüglich seiner natürlichen Filtrierung bezeichnet, wenn der bedingte Erwartungswert einer zukünftigen Beobachtung

$E\left(M_{n}\mid M_{m},M_{m-1},\ldots ,M_{2},M_{1}\right)=M_{m},\;\;\;\forall \;m\leq n$

gleich dem zuletzt beobachteten Wert ist.

Ist $\{M_{t}\},\;t\,\in \,\mathbb {R} _{+}\$ ein zeitstetiger stochastischer Prozess, so lautet obige Bedingung

$E(M_{t}|{M_{s}};s\in [a,b])=M_{b}\;\;\;\forall \;a\;\leq \;b\;\leq \;t$.

Sub- und Supermartingal

Als Submartingal bezeichnet man einen stochastischen Prozess $X_{t}$, der im Gegensatz zum Martingal tendenziell steigt:

$E(X_{t}\,|\,X_{s}=x)\geq x\;\;\forall \;s<t$

Dementsprechend ist ein Supermartingal ein stochastischer Prozess $X_{t}$, der tendenziell fällt:

$E(X_{t}\,|\,X_{s}=x)\leq x\;\;\forall \;s<t$

Exponentialmartingal

Ist die quadratische Variation $<M>$ eines stetigen beschränkten Martingals $M_{t}$ (oder eines mit endlichen exponentiellen Momenten) endlich, so ist der stochastische Prozess

$X_{t}=e^{\left(M_{t}-{\frac {1}{2}}<M>_{t}\right)}$

ebenfalls ein Martingal und heißt Exponentialmartingal von $M_{t}$

Beispiele für Martingale

• Jedes stetige Martingal ist von unendlicher Variation.
• Ein Wiener-Prozess $W_{t}$ ohne Drift ist ein Martingal, ebenso wie ein geometrischer Wiener-Prozess ohne Drift.
• Ein Poisson-Prozess mit Rate $\lambda$, der um seine Drift bereinigt wird, also ${\hat {P}}_{\lambda ,t}=P_{\lambda ,t}-\lambda t$, ist ein Martingal.
• Ein symmetrischer Random Walk, bei dem die Wahrscheinlichkeit für eine Aufwärtsbewegung ebenso wie für eine Abwärtbewegung ${\frac {1}{2}}$ ist, ist ein Martingal.
• Nach dem Lemma von Itō gilt: Jedes Itō-Integral (mit beschränktem Integranden) ist ein Martingal. Nach dem Ito'schen Martingaldarstellungssatz lässt sich umgekehrt jedes Martingal (sogar jedes lokale Martingal) bezüglich einer von einer Brown'schen Bewegung erzeugten Filtration als Ito-Integral bezüglich eben dieser Brown'schen Bewegung darstellen.

Herkunft des Wortes

Das Wort stammt aus dem Provenzalischen und ist über das Französische in die Weltsprache der Mathematik übergegangen. Martingale bezeichnet im Französischen und Englischen einen Teil des Pferdezaumzeugs (den Sprungzügel, der Hals und Bauch verbindet und das Pferd am Hochsteigen hindert). Der Name Martingal bezieht sich auf die französische Stadt Martigues im Departement Bouches du Rhone am Rande der Camargue, wo dieser Hilfszügel gebräuchlich ist. Seit dem 18. Jahrhundert steht Martingal auch für eine Strategie im Glücksspiel (vgl. Martingalespiel), bei der nach einem verlorenen Spiel der Einsatz erhöht, im einfachsten Fall verdoppelt wird, so dass im Falle unerschöpflichen Vermögens sicherer Gewinn eintritt. (Quelle: H. Bauer, Wahrscheinlichkeitstheorie; deGruyter,1991)