Traktrix

Die Traktrix (v. lat. trahere „schleifen, schleppen“), auch Schleppkurve, Ziehkurve, Treidelkurve, ist eine spezielle ebene Kurve. Der Name erklärt sich daraus, dass diese Kurve von einem Massenpunkt beschrieben wird, der an einer Stange gezogen wird.

Eigentliche Traktrix

Eine Kurve, bei der für jede Tangente der Abschnitt zwischen dem Berührpunkt und der x-Achse konstant ist.

Traktrix, Funktionsgraph für x und y positiv, A durchläuft [O,x]

Sie heißt auch Huygens-Traktrix, nach Christiaan Huygens, der das zugrundeliegende Problem beschrieb. Sie ist eine der Kurven, die mit dem Trivialnamen Hundekurve bezeichnet werden.

Bildungsgesetz

Sei A₀ der Startpunkt eines „Verfolgten“ im Ursprung, und P₀ der Startpunkt eines „Verfolgers“ auf der y-Achse. Sei d der Abstand A₀B₀ ≠ 0. Wandert der Punkt A entlang der x-Achse, und “folgt“ ihm der Punkt P in konstantem Abstand d, dann durchläuft P eine Traktrix.

Kartesische Koordinaten

$x=d\cdot \operatorname {arcosh} {\frac {d}{y}}\mp {\sqrt {d^{2}-y^{2}}}=d\cdot \ln \left|{\frac {d\pm {\sqrt {d^{2}-y^{2}}}}{y}}\right|\mp {\sqrt {d^{2}-y^{2}}}$

(da sich der arcosh z durch einen ln z entwickeln lässt.)

Parameterdarstellung

• mit dem Parameter ω, sin ω = y/d, 0 ≤ ω ≤ π/2 , dem Winkel zwischen x-Achse und Tangente – hilfreich, wenn die Hyperbelfunktionen nicht explizit berechnet werden können:
  

$x(\omega )=\pm \ d\cdot \left(\cos \omega +\ln \tan {\frac {\omega }{2}}\right);\qquad y(\omega )=d\cdot \sin \omega$

Eigenschaften

Herleitung

Aus dem Bildungsgesetz lässt sich direkt folgende Differentialgleichung ablesen:

$y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {\pm y}{\sqrt {d^{2}-y^{2}}}}$

Die Lösung dieser Gleichung ergibt die Funktionsgleichung der Traktrix.

• Für P₀(0|d) fallen beide möglichen Tangenten mit der y-Achse zusammen, der Punkt P₀ ist also eine eigentliche Spitze.

• Die Bogenlänge von P₀ ab errechnet sich zu: $l=d\ln {\frac {d}{y}}$

• Die Fläche unter der Traktrix: $A={\frac {\pi }{2}}$

• Wird diese Kurve um die x-Achse rotiert, so entsteht die Pseudosphäre, welche in der hyperbolischen Geometrie die Rolle der Kugel einnimmt.

Allgemeine Traktrix

Der Begriff der Traktrix lässt sich verallgemeinern:

Gegeben seien ein Parameter t, eine Kurve k (die Leitkurve), ein beliebiger Punkt A₀ (Startpunkt), der auf der Kurve k liegt, und ein beliebiger Punkt P₀. Sei d der Abstand A₀P₀.
Wandert der Punkt A(t) mit A(0) = A₀ mit wachsendem t nun entlang der Kurve k, so „folgt“ ihm der Punkt P(t) mit P(0) = P₀ in konstantem Abstand d.
Die Menge aller Punkte, die P(t) durchläuft, bezeichnet man als die Traktrix der Kurve k.

Eigenschaften

• Die Verbindungslinie von entsprechenden A(t) und P(t) ist Tangente an die Traktrix.

• Diese allgemeine Traktrix spielt eine wichtige Rolle in der Modellierung des Fahrverhaltens, siehe Schleppkurve.
  Sie erscheint auch beim Taschenmesser-Planimeter.

Siehe auch

Liste geometrischer Kurven

Weblinks

• [1] Verfolgungsprobleme, Menü: Schleppkurven- Hochinteressante Java-Applets
• [2] Johanneum Lüneburg Kurven Traktrix- Artikel auf Schulniveau, aber mit interessanten Informationen
• [3] Tractrix -- From MathWorld– (englisch), ausgezeichnete Literaturangaben.