Ring (Algebra)

Ring

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie Zahlentheorie

ist Spezialfall von

additive Abelsche Gruppe multiplikative Halbgruppe Halbring Modul

umfasst als Spezialfälle

kommutativer Ring (Axiom K) unitärer Ring (N) Schiefkörper (NI) Körper (KNI) nullteilerfreier Ring (0) Integritätsbereich (0K) ganze Zahlen Z euklidischer Ring Hauptidealring [?] Polynomringe Restklassenringe

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, die sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind.

Definition (Ring)

Eine Menge $R$ mit zwei binären Verknüpfungen "+" und "$\cdot$" auf $R$ ist ein Ring, wenn gilt:

• $(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element mit $0$ bezeichnet wird;
• die Multiplikation "·" ist assoziativ;
• es gelten die Distributivgesetze, d.h. für alle $a,b,c\in R$ gilt:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$   und   $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

Gibt es ein neutrales Element $1$ der Multiplikation, d.h. gilt $1\cdot a=a\cdot 1=a$ für alle $a\in R$, so spricht man von einem Ring mit 1 oder einem unitären Ring.

Für einen unitären Ring sind die obenstehenden Axiome nicht unabhängig voneinander, denn die Kommutativität der Addition folgt aus den übrigen Eigenschaften und der Existenz eines Einselementes. Siehe dazu Abschwächungen der Axiome.

Eigenschaften

• Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt sich aus den Gruppenaxiomen der Addition.
• Jeder Ring R ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Ring). Die Ideale im Ring R sind gerade die Untermoduln dieses Moduls R.

Spezialfälle

Ist die Multiplikation kommutativ, spricht man von einem kommutativen Ring. Mit kommutativen Ringen mit Einselement beschäftigt sich die kommutative Algebra.

Ist $R$ ein Ring mit $1$ und gibt es zudem für alle $a\in R\setminus \{0\}$ ein multiplikatives Inverses, so heißt $R$ Schiefkörper; ist dieser Schiefkörper zudem noch kommutativ, nennt man ihn einen Körper.

Gibt es in $R$ keine von 0 verschiedenen Elemente $a,b$, so dass $a\cdot b=0$, dann heißt $R$ nullteilerfrei.

Ist $R$ ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit $1$, so nennt man $R$ einen Integritätsring.

• lokaler Ring
• Boolescher Ring

Zur Verwendung des Wortes Ring

Die Namensgebung Ring bezieht sich nicht auf etwas anschaulich Rundes, sondern auf einen Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Diese Wortbedeutung ist in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen. Einige ältere Vereinsbezeichnungen (wie z.B. Deutscher Ring, Weißer Ring) oder Ausdrücke wie „Verbrecherring“ weisen noch auf diese Bedeutung hin.

Weiteres

Alle multiplikativ invertierbaren Elemente bilden die Einheitengruppe.

Abschwächungen der Axiome

• Die Kommutativität der Addition müsste für unitäre Ringe in der Definition nicht gefordert werden, denn sie folgt aus den restlichen Ringaxiomen. Für alle $a,b\in R$ gilt:

$a+a+b+b=1\cdot a+1\cdot a+1\cdot b+1\cdot b=(1+1)a+(1+1)b=(1+1)(a+b)=$

$1(a+b)+1(a+b)=a+b+a+b$

Addiert man diese Gleichung von links mit $(-a)$ und von rechts mit $(-b)$, so erhält man:

$a+b=b+a$

Insgesamt wurden mit Ausnahme des Assoziativgesetzes der Multiplikation alle Axiome eines unitären Rings benutzt. Die Argumentation ist also auch für nicht-assoziative unitäre Ringe gültig.

• Fordert man von $(R,+)$ anstatt der Struktur der abelschen Gruppe nur die eines kommutativen Monoids, und gilt $a\cdot 0=0\cdot a=0$ für alle $a\in R$, so spricht man von einem Halbring. Auch hier unterscheiden sich die verwendeten Definitionen, manchmal wird nur eine Halbgruppe, manchmal die Existenz eines neutralen Elementes der Multiplikation gefordert.
• Eine andere Verallgemeinerung des Ringbegriffes ist der Fastring: Hierzu wird nur eines der beiden Distributivgesetze gefordert, und die Addition wird nicht als kommutativ vorausgesetzt.

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siehe auch Hierarchie mathematischer Strukturen