Geburtstagsparadoxon

Als Geburtstagsproblem (manchmal auch Geburtstagsparadoxon) wird die Tatsache bezeichnet, dass von 23 willkürlich ausgewählten Personen (zum Beispiel zwei Fußballmannschaften plus Schiedsrichter) mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 50 % mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben. Welcher Tag das ist, spielt dabei keine Rolle.

Im Gegensatz dazu steht die Wahrscheinlichkeit, dass jemand an einem ganz bestimmten Tag Geburtstag hat - wenn man sich zum Beispiel den Schiedsrichter nimmt und fordert, dass jemand mit genau ihm am selben Tag Geburtstag hat. Für diesen Fall sind 253 Personen notwendig, um eine Wahrscheinlichkeit von 50 % zu erreichen (siehe Binomialverteilung).

Es handelt sich nicht um ein echtes Paradoxon, weil die Aussage nicht sich selbst widerspricht. Sie wird lediglich als Paradoxon bezeichnet, weil sie viele Betrachter auf den ersten Blick unwahrscheinlich finden.

Der Grund für diesen großen Unterschied liegt darin, dass es bei n Personen n*(n-1)/2 verschiedene Paare gibt, die am selben Tag Geburtstag haben könnten. Die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen beziehungsweise Kollidieren zweier Geburtstage steigt daher ungefähr mit dem Quadrat der Anzahl n an (für kleine Werte von n).

Dieser Effekt hat eine Bedeutung bei kryptographischen Hash-Funktionen, die einen eindeutigen Prüfwert aus einem Text ergeben sollen. Es ist dabei viel einfacher, zwei zufällige Texte zu finden, die den selben Prüfwert haben, als zu einem vorgegebenen Text einen weiteren zu finden, der den selben Prüfwert aufweist (siehe Geburtstagsangriff).

Mathematische Herleitungen

Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Tag

Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Tag Geburtstag zu haben:

$p={1 \over 365}\approx 0{,}27\%$

Da die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil (es gibt keine zwei Leute, die am selben Tag Geburtstag haben) unter einem bestimmten Schwellwert (in diesem Fall 50 %) liegen soll, muss über das Gegenereignis gerechnet werden. Die Wahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Tag nicht Geburtstag zu haben ist

$q=1-{1 \over 365}\approx 99{,}73\%$.

Bei zwei unabhängigen Versuchen (die Geburtstage zweier Personen werden als unabhängig betrachtet) ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Treffer zu haben: $Q=q^{2}$

Dabei mindestens einen Treffer zu haben, ist wieder die Gegenwahrscheinlichkeit, also: $P=1-q^{2}$

Allgemein ausgedrückt ist die Wahrscheinlichkeit P, mit der mindestens eine Person von n anwesenden Personen an einem bestimmten Tag Geburtstag hat:

$P=1-\left(1-{1 \over 365}\right)^{n}$

Damit lässt sich ausrechnen, wie viele Personen n man braucht, um eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zu erreichen, dass mindestens eine Person an einem bestimmten Tag Geburtstag hat:

$\left(1-{1 \over 365}\right)^{n}=1-P$

$\Leftrightarrow \ln \left[\left(1-{1 \over 365}\right)^{n}\right]=\ln(1-P)$

$\Leftrightarrow n\geq {{\ln(1-P)} \over {\ln(1-{1 \over 365})}}$

Für eine Wahrscheinlichkeit von 50 % benötigt man:

$n\geq {{\ln({1 \over 2})} \over {\ln({364 \over 365})}}\approx 253$ Teilnehmer

Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen an einem Tag Geburtstag haben

Die Anzahl aller möglichen Fälle ist $m={365}^{n}$. Zum Beispiel ergeben sich für zwei Personen $365^{2}=133225$ mögliche Kombinationen von Geburtstagen.

Weiterhin ist die Anzahl der Fälle, in denen nur unterschiedliche Geburtstage vorkommen,

$u=365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)={\frac {365!}{(365-n)!}}$.

Die erste Person kann den Geburtstag frei wählen, für die zweite gibt es dann 364 Tage, an denen die erste nicht Geburtstag hat.

Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit von

${\frac {u}{m}}={\frac {365!}{(365-n)!\cdot 365^{n}}}$

dass alle n Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben.

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen doppelten Geburtstag ist somit

$P=1-{\frac {u}{m}}=1-{\frac {365!}{(365-n)!\cdot 365^{n}}}$

Durch Probieren oder Ausrechnen mit einem Mathematik-Programm kommt man zu dem Ergebnis, dass für eine Wahrscheinlichkeit von mindestens 50 % nur 23 Personen gebraucht werden, damit mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben.

Siehe auch: Lincoln-Kennedy-Mysterium

Andere Personenzahlen

Beispielhaft sollen weitere Personenzahlen aufgeführt sein mit der Wahrscheinlichkeit einer Übereinstimmung (siehe auch Weblink). Die Zahlen sind gerundet:

P	n
00%	01
01%	03
09%	09
19%	13
28%	16
41%	20
51%	23
60%	26
71%	30
80%	34
90%	41
95%	46

Weblinks

• Berechnung der Wahrscheinlichkeit P für n=1..365 Personen
• Geburtstagsproblem in Mathworld
• Analytische Lösung für mehrere Geburtstage an einem Tag
• Gruppengroessen für mindestens 50% Wahrscheinlichkeit mehrerer Geburtstage an einem Tag