Poincaré-Ungleichung

In der Analysis bezeichnet man als Poincaré-Ungleichung eine nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré benannte Ungleichung aus der Theorie der Sobolev-Räume. Die Ungleichung ermöglicht es, Schranken für eine Funktion aus Schranken der Ableitungen und der Geometrie des Definitionsbereichs herzuleiten. Solche Schranken spielen in der Variationsrechnung eine große Rolle.

Ein verwandtes Resultat ist die Friedrichs-Ungleichung.

Formulierung der Ungleichung

Die klassische Poincaré-Ungleichung

Sei 1 ≤ p ≤ ∞ und Ω eine beschränkte zusammenhängende offene Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen Raumes Rⁿ mit Lipschitz-Rand (d.h. Ω ist ein Lipschitz-Gebiet). Dann gibt es eine Konstante C, die nur von Ω und p abhängt, so dass für jede Funktion u im Sobolev-Raum W^1,p(Ω),

\|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )},

wobei

u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y

der Mittelwert von u über Ω ist, |Ω| bezeichnet das Lebesgue-Maß des Gebietes Ω.

Verallgemeinerungen

Es gibt Verallgemeinerungen der Poincaré-Ungleichung für andere Sobolev-Räume. Zum Beispiel die folgende (aus Vorlage:Harvtxt) is a Poincaré-Ungleichung für den Sobolev-Raum H^1/2(T²), d.h. den Raum der Funktionen u im L²-Raum des Torus T², deren Fourier-Transformierte û die Bedingung

[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}<+\infty

erfüllt: Es gibt eine Konstante C, so dass für jedes u ∈ H^1/2(T²) mit u identisch 0 auf einer offenen Menge E ⊆ T², folgende Ungleichung gilt:

\int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\mathrm {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},

wobei cap(E × {0}) die harmonische Kapazität von E × {0} als Teilmenge von R³ bedeutet.

Die Poincaré-Konstante

Die optimale Konstante C in der Poincaré-Ungleichung wird als Poincaré-Konstante des Gebietes Ω bezeichnet. Es ist im allgemeinen sehr schwer, die Poincaré-Konstante zu bestimmen, abhängig von p und der Geometrie des Gebietes Ω. Gewisse Spezialfälle sind aber behandelbar. Zum Beispiel für beschränkte, konvexe Lipschitz-Gebiete Ω mit Durchmesser d ist die Poincaré-Konstante höchstens d/2 falls p = 1, und höchstens d/π falls p = 2 (Vorlage:Harvnb; Vorlage:Harvnb), und das ist die bestmögliche nur vom Durchmesser abhängende Abschätzung für die Poincaré-Konstante. Für glatte Funktionen erhält man das als eine Anwendung der isoperimetrischen Ungleichung auf die Level-Mengen der Funktion. [1] Im 1-dimensionalen ist das die Wirtinger-Ungleichung für Funktionen.

Es gibt Spezialfälle, in denen die Konstante C explizit bestimmt werden kann. Zum Beispiel für p = 2 ist bekannt, dass für das Gebiet des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der Länge 1 die Poincaré-Konstante C = 1/π ist ( und damit kleiner als < d/π für den Durchmesser $\scriptstyle {d={\sqrt {2}}}$ ). (Siehe zum Beispiel,Vorlage:Harvtxt.)

Literatur