Algebra über einem Körper

Eine Algebra über einem Körper $K$, Algebra über $K$ oder $K$-Algebra (früher auch als lineare Algebra bezeichnet) ist ein Vektorraum über $K$, der um eine (hinreichend gutartige) Multiplikation erweitert wurde.

Definition

Eine Algebra $A$ über einem Körper $K$ oder kurz $K$-Algebra ist ein $K$-Vektorraum mit einer $K$-bilinearen Verknüpfung

$A\times A\to A,$

Multiplikation genannt, die durch $x\cdot y$ oder $xy$ symbolisiert wird. (Diese Verknüpfung ist unabhängig von der Multiplikation im Körper und derjenigen von Körperelementen mit Vektoren; die Verwendung desselben Symbols führt jedoch nicht zu Verwechslungen, da aus dem Kontext hervorgeht, welche Verknüpfung gemeint ist.)

Explizit bedeutet die Bilinearität, dass für alle Elemente $x,y,z\in A$ und alle Skalare $\lambda \in K$ gilt:

• $(x+y)\cdot z=xz+yz$
• $x\cdot (y+z)=xy+xz$
• $\lambda \cdot (xy)=(\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y)$

Ist der zugrundeliegende Körper der Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$, so nennt man die Algebra auch reelle Algebra.

Verallgemeinerung

Allgemeiner kann $K$ ein kommutativer Ring sein, dann ist „Vektorraum“ durch „Modul“ zu ersetzen, und man erhält eine Algebra über einem kommutativen Ring.

Unteralgebren und Ideale

Eine Unteralgebra $U$ einer Algebra $A$ über einem Körper $K$ ist ein Unterraum von $A$, der neben der Addition und der Multiplikation mit einem Skalar, also einem Element von $K$, auch unter der in $A$ definierten Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. $u$, $v\in U\Rightarrow uv\in U$. $U$ ist dann eine eigenständige Algebra. Zum Beispiel sind die reellen, nicht aber die imaginären Zahlen eine Unteralgebra der komplexen Zahlen.

Ist darüber hinaus

$v\in U\Rightarrow av\in U$

mit einem beliebigen Element $a$ von $A$, so heißt $U$ ein linksseitiges Ideal von $A$. Entsprechend heißt $U$, falls

$v\in U\Rightarrow va\in U$

rechtsseitiges Ideal von $A$ ist. Ist beides der Fall oder gar $A$ kommutativ, so heißt $U$ einfach ein Ideal von $A$. Falls die Algebra $A$ keine Ideale besitzt, heißt sie einfach.

Weitere Attribute und Beispiele

Assoziative Algebren

Eine assoziative Algebra ist eine $K$-Algebra, in der für die Multiplikation das Assoziativgesetz gilt und die somit ein Ring ist. Beispiele:

• Die Algebra der $n\times n$-Matrizen über einem Körper; die Multiplikation ist hierbei die Matrizenmultiplikation.
• Die Inzidenzalgebra einer partiell geordneten Menge.
• Algebren von linearen Operatoren von einem $K$-Vektorraum in sich selbst; die Multiplikation ist hier die Hintereinanderausführung.
• Die Gruppenalgebra $K[G]$ zu einer Gruppe $G$; hierbei bilden die Gruppenelemente eine $K$-Basis des $K$-Vektorraums $K[G]$, und die Algebra-Multiplikation ist die bilineare Fortsetzung der Gruppenmultiplikation.
• Die Algebra $K[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $K$ in einer Unbekannten $x$.
• Die Algebra $K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$ der Polynome mit Koeffizienten in $K$ in mehreren Unbekannten $x_{1},\dotsc ,x_{n}$.
• Eine Funktionenalgebra erhält man, indem man einen Funktionenraum von Funktionen von einer Menge $M$ in einen Körper $K$ mit folgender punktweisen Multiplikation versieht:

$(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x),\qquad f,g\colon M\to K,x\in M$

Funktionenalgebren sind assoziativ, weil die zugrunde liegende Körpermultiplikation assoziativ ist.

• Eine Körpererweiterung von $K$ ist eine assoziative Algebra über $K$. So ist z.B. $\mathbb {R}$ eine $\mathbb {Q}$-Algebra und $\mathbb {C}$ kann als $\mathbb {Q}$-Algebra oder als $\mathbb {R}$-Algebra betrachtet werden.

Kommutative Algebren

Eine kommutative Algebra ist eine $K$-Algebra, in der für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt. Beispiele:

• Im mathematischen Teilgebiet Kommutative Algebra werden Algebren betrachtet, die assoziativ und kommutativ sind. Dazu gehören die oben genannten Polynomalgebren, die Funktionenalgebren und die Körpererweiterungen.
• Genetische Algebren sind kommutative Algebren mit einigen zusätzlichen Eigenschaften, in denen das Assoziativgesetz im Allgemeinen nicht erfüllt ist.

Unitäre Algebren

Eine unitäre Algebra ist eine Algebra mit einem neutralen Element der Multiplikation, dem Einselement (vgl. unitärer Ring). Beispiele:

• Matrizenalgebren mit der Einheitsmatrix als Einselement.
• Jede Gruppenalgebra ist unitär: das Einselement der Gruppe ist auch Einselement der Algebra.
• Das konstante Polynom 1 ist Einselement einer Polynomalgebra.
• Der Körper K mit seiner Körpermultiplikation als Algebra-Multiplikation ist als $K$-Algebra assoziativ, kommutativ und unitär.

Wenn das aus dem jeweiligen Kontext klar ist, werden die Eigenschaften „assoziativ“, „kommutativ“ und „unitär“ in der Regel nicht explizit genannt.

Nicht-assoziative Algebren

Manche Autoren bezeichnen eine $K$-Algebra als nicht-assoziativ, wenn das Assoziativgesetz nicht vorausgesetzt wird. (Diese Begriffsbildung führt allerdings zu der etwas verwirrenden Konsequenz, dass insbesondere jede assoziative Algebra auch nicht-assoziativ ist.) Einige Beispiele für Algebren, die nicht notwendigerweise assoziativ sind:

• Eine Divisionsalgebra ist eine Algebra, in der man „dividieren“ kann, d.h. in der alle Gleichungen $ax=b$ und $ya=b$ für $a\neq 0$ stets eindeutig lösbar sind. Eine Divisionsalgebra muss weder kommutativ noch assoziativ noch unitär sein.
• Der reelle Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ mit dem Kreuzprodukt. Diese reelle Algebra ist insbesondere eine Lie-Algebra.
• Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten (in Lie-Algebren wird das Produkt meist als $[x,y]$ geschrieben):
  • $[x,x]=0$
  • $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ (Jacobi-Identität)
• Eine Baric-Algebra ist eine Algebra $A$, für die es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus $w\colon A\to K$ gibt.