Benutzer:Kassbohm/Voigt2

Die Voigtsche Notation (auch Voigtsche Schreibweise genannt), benannt nach dem Göttinger Physiker Woldemar Voigt, ist eine kompakte Schreibweise für lineare Abbildungen zwischen 3x3-Matrizen. Man kann sie anwenden, wenn die lineare Abbildung bestimmte Symmetriebedingungen erfüllt. Die Voigtsche Schreibweise wird z.B. in der Kontinuumsmechanik sehr häufig verwendet.

Beispiel lineare Elastizitätstheorie

Im Allgemeinen hat eine 3x3-Matrix 9 Bestimmungsstücke. Eine lineare Abbildung zwischen zwei 3x3-Matrizen hat daher 81 (3x3 mal 3x3) Bestimmungsstücke. Die lineare Abbildung zwischen zwei 3x3-Matrizen $\varepsilon$ und $\sigma$ kann man mit einer 3x3x3x3-Matrix C darstellen gemäß

${\begin{aligned}\sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl}\end{aligned}}$

Hierbei wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet. Eine dieser 9 Gleichungen lautet beispielsweise

${\begin{aligned}\sigma _{23}&=C_{23kl}\varepsilon _{kl}\\&=C_{2311}\varepsilon _{11}+C_{2312}\varepsilon _{12}+C_{2313}\varepsilon _{13}+C_{2321}\varepsilon _{21}+C_{2322}\varepsilon _{22}+C_{2331}\varepsilon _{31}+C_{2332}\varepsilon _{32}+C_{2333}\varepsilon _{33}\end{aligned}}$

Wenn für C bestimmte Symmetriebedingungen gelten (siehe unten), dann lohnt es sich (und das ist die Idee von Voigt) folgende Größen zu definieren

${\begin{aligned}\sigma _{\alpha }^{\text{v}}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{\text{v}}\\\sigma _{2}^{\text{v}}\\\sigma _{3}^{\text{v}}\\\sigma _{4}^{\text{v}}\\\sigma _{5}^{\text{v}}\\\sigma _{6}^{\text{v}}\\\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}},\qquad \varepsilon _{\alpha }^{\text{v}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}^{\text{v}}\\\varepsilon _{2}^{\text{v}}\\\varepsilon _{3}^{\text{v}}\\\varepsilon _{4}^{\text{v}}\\\varepsilon _{5}^{\text{v}}\\\varepsilon _{6}^{\text{v}}\\\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\\\end{bmatrix}},\qquad C_{\alpha \beta }^{\text{v}}:={\begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&C_{1123}&C_{1113}&C_{1112}&\\&C_{2222}&C_{2233}&C_{2223}&C_{2213}&C_{2212}&\\&&C_{3333}&C_{3323}&C_{3313}&C_{3312}&\\&&&C_{2323}&C_{2313}&C_{2312}&\\&{\text{sym}}&&&C_{1313}&C_{1312}&\\&&&&&C_{1212}&\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Denn der eingangs erwähnte lineare Zusammenhang zwischen $\sigma$ und $\varepsilon$ lässt sich mit diesen Definitionen viel kompakter in Voigtscher Schreibweise darstellen, nämlich als

${\begin{aligned}\sigma _{\alpha }^{\text{v}}&=C_{\alpha \beta }^{\text{v}}\varepsilon _{\beta }^{\text{v}}\\{\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{\text{v}}\\\sigma _{2}^{\text{v}}\\\sigma _{3}^{\text{v}}\\\sigma _{4}^{\text{v}}\\\sigma _{5}^{\text{v}}\\\sigma _{6}^{\text{v}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&C_{1123}&C_{1113}&C_{1112}&\\&C_{2222}&C_{2233}&C_{2223}&C_{2213}&C_{2212}&\\&&C_{3333}&C_{3323}&C_{3313}&C_{3312}&\\&&&C_{2323}&C_{2313}&C_{2312}&\\&{\text{sym}}&&&C_{1313}&C_{1312}&\\&&&&&C_{1212}&\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}^{\text{v}}\\\varepsilon _{2}^{\text{v}}\\\varepsilon _{3}^{\text{v}}\\\varepsilon _{4}^{\text{v}}\\\varepsilon _{5}^{\text{v}}\\\varepsilon _{6}^{\text{v}}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Man zeigt leicht, dass diese Gleichung (für den Spezialfall, dass C die unten erwähnten Symmetrien aufweist) äquivalent zu den eingangs erwähnten 9 Gleichungen ist. Z.B. ist

${\begin{aligned}\sigma _{23}&=C_{2311}\varepsilon _{11}+C_{2312}\varepsilon _{12}+C_{2313}\varepsilon _{13}+C_{2321}\varepsilon _{21}+C_{2322}\varepsilon _{22}+C_{2323}\varepsilon _{23}+C_{2331}\varepsilon _{31}+C_{2332}\varepsilon _{32}+C_{2333}\varepsilon _{33}\\&=C_{2311}\varepsilon _{11}+(C_{2312}+C_{2321})\varepsilon _{12}+(C_{2313}+C_{2331})\varepsilon _{13}+(C_{2323}+C_{2332})\varepsilon _{23}+C_{2322}\varepsilon _{22}+C_{2333}\varepsilon _{33}\\&=C_{2311}\varepsilon _{11}+2C_{2312}\varepsilon _{12}+2C_{2313}\varepsilon _{13}+2C_{2323}\varepsilon _{23}+C_{2322}\varepsilon _{22}+C_{2333}\varepsilon _{33}\\&=C_{2311}\varepsilon _{11}+C_{2322}\varepsilon _{22}+C_{2333}\varepsilon _{33}+C_{2323}2\varepsilon _{23}+C_{2313}2\varepsilon _{13}+C_{2312}2\varepsilon _{12}\\\end{aligned}}$

Hinweis: Es sind auch andere Definitionen der Voigtschen Vektoren und der Voigtschen Steifigkeitsmatrix gebräuchlich, z.B. könnte auch sein: $\varepsilon _{4}^{\text{v}}:=1\varepsilon _{12}$, was auch Auswirkungen auf $\sigma ^{\text{v}}$ und $C^{\text{v}}$ hätte.

Vorteile der Voigtschen Schreibweise

1. In der ausführlichen Schreibweise haben wir 9 Gleichungen. Und auf der rechten Seite jeder dieser Gleichungen stehen jeweils 9 Summanden. In der Voigtschen Schreibweise dagegen haben wir nur 6 Gleichungen mit je 6 Summanden.

2. Man erkennt, dass ein lineares Materialgesetz (für das die Symmetrien von C gelten) im allgemeinen 21 unabhängige Werte (Material-Konstanten) enthält. Wenn C noch weitere Bedingungen/Symmetrien erfüllt, reduziert sich die Anzahl der Konstanten.

3. Die Voigtsche Steifigkeitsmatrix lässt sich leicht invertieren.

Symmetrien in den Indizes von C

In der Hyperelastizität verlangt man, dass die Spannungen sich aus einem Potential $F(\varepsilon )$, der Freien Energie, berechnen lassen. Die Symmetrie des Spannungs- und Verzerrungstensors sowie die Annahme der Hyperelastizität erzeugen Symmetrien in den Indizes von $C$ wie folgt:

${\begin{matrix}C_{ijkl}&=&C_{jikl}&\Leftrightarrow &&\sigma _{ij}&&=&\sigma _{ji}\\C_{ijkl}&=&C_{ijlk}&\Leftrightarrow &&\varepsilon _{kl}&&=&\varepsilon _{lk}\\C_{ijkl}&=&C_{klij}&\Leftrightarrow &F:={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ij}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}\quad \land &\sigma _{mn}&&=&{\frac {\partial F}{\partial \varepsilon _{mn}}}\end{matrix}}$

Ausgeschrieben ergeben diese Symmetrien die folgenden 60 Gleichungen:

${\begin{aligned}C_{1122}&=C_{2211}\\C_{1133}&=C_{3311}\\C_{2233}&=C_{3322}\\C_{1112}&=C_{1211}&=C_{1121}&=C_{2111}\\C_{1113}&=C_{1311}&=C_{1131}&=C_{3111}\\C_{1222}&=C_{2212}&=C_{2122}&=C_{2221}\\C_{2223}&=C_{2322}&=C_{2232}&=C_{3222}\\C_{1333}&=C_{3313}&=C_{3133}&=C_{3331}\\C_{2333}&=C_{3323}&=C_{3233}&=C_{3332}\\C_{1221}&=C_{2112}&=C_{2121}&=C_{1212}\\C_{1331}&=C_{3113}&=C_{3131}&=C_{1313}\\C_{2332}&=C_{3223}&=C_{3232}&=C_{2323}\\C_{1322}&=C_{2213}&=C_{3122}&=C_{2231}\\C_{1123}&=C_{2311}&=C_{1132}&=C_{3211}\\C_{1233}&=C_{3312}&=C_{2133}&=C_{3321}\\C_{1223}&=C_{2312}&=C_{2123}&=C_{1232}&=C_{2321}&=C_{2132}&=C_{3212}&=C_{3221}\\C_{1213}&=C_{1312}&=C_{2113}&=C_{1231}&=C_{3112}&=C_{1321}&=C_{2131}&=C_{3121}\\C_{1323}&=C_{2313}&=C_{3123}&=C_{1332}&=C_{3213}&=C_{2331}&=C_{3132}&=C_{3231}\\\end{aligned}}$

Literatur

I. Müller, P. Strehlow: Rubber and Rubber Balloons, Paradigms of Thermodynamics. In: Lect. Notes Phys. Nr. 637, 2004, doi:10.1007/b93853.