Lösen von Gleichungen

Dies ist eine Übersicht über das Lösen von Gleichungen. Das Lösen von Gleichungssystemen wird in einem anderen Artikel behandelt. Ebenso das Lösen von Differenzialgleichungen .

Grundregeln

Gleichungen werden durch Äquivalenzumformungen gelöst. D. h. es sind eine Reihe von Aktionen erlaubt, vorausgesetzt, sie werden auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens gleich ausgeführt:

Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten ("+ 2" oder "+ 7·x" oder "+ 2·(x²-y²)" ...).
Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten ("- 2" oder "- 7·x" oder "- (x+y)·(x-y)" ...).
Multiplikation mit demselben Ausdruck auf beiden Seiten ("·2" oder "·7x" oder "·(x²+2x+1)" ...).
Division durch demselben Ausdruck auf beiden Seiten ("÷2" oder "÷7x" oder "÷2ab" ...).
Potenzieren beider Seiten mit dem selben positiven ganzzahligen Exponenten (z. B. Quadrieren ).
Vertauschen beider Seiten.

Eingeschränkt möglich sind darüber hinaus:

Potenzieren beider Seiten mit dem selben nicht-ganzzahligen Exponenten, z.B. Bilden der Quadratwurzel beider Seiten.

Dies gibt nur dann reelle Lösungen, wenn die Seiten der Gleichung positiv sind.

Potenzieren beider Seiten mit dem selben negativen Exponenten, z.B. Bilden des Kehrwerts beider Seiten.

Dies geht nur, wenn die Seiten der Gleichung nicht den Wert Null haben.

Gleichungen vom Grad 1

Lineare Gleichungen werden gemäß obigen Grundregeln so lange behandelt, bis auf der linken Seite die Unbekannte steht und rechts eine Zahl bzw. ein entsprechender Ausdruck.
Lineare Gleichungen haben in der Regel eine Lösung, sie können aber auch unlösbar sein. So gibt es keine Zahl, die die Gleichung x = x + 1 löst, weil es keine Zahl gibt, die gleich groß wie ihr Nachfolger ist. Verhältnisgleichungen wie etwa 1÷x = 2÷5 lassen sich durch Kehrwertbildung in eine lineare Gleichung überführen.

Gleichungen vom Grad 2

Das Lösen von Quadratischen Gleichungen ist ausführlich unter Quadratische Ergänzung bzw. unter pq-Formel beschrieben.
Quadratische Gleichungen haben stets zwei Lösungen, die aber nicht immer reell sind. Daher lernen SchülerInnen, dass es auch Quadratische Gleichungen "ohne Lösung" geben kann.
Auch hier lässt sich eine unlösbare Gleichung finden, mit derselben Begründung wie oben: x² = x² + 1.

Gleichungen vom Grad 3

Auch für das Lösen von kubischen Gleichungen gibt es eine formale Lösung, die in der Fachliteratur (z.B. Bronstein:Taschenbuch der Mathematik) nachzulesen ist, und die später nachgereicht werden sollte. Sie kommt allerdings nicht mehr ohne Komplexe Zahlen aus.
Kubische Gleichungen haben stets drei Lösungen, die aber nicht immer reell sind.
Auch hier lässt sich eine unlösbare Gleichung finden, mit derselben Begründung wie oben: x³ = x³ + 1.

Gleichungen höheren Grades

Gleichungen höheren Grades werden in der Regel nur numerisch gelöst, es sei denn, eine Lösung lässt sich erraten. Hat man eine solche gefunden, lässt sich der Grad der Gleichung durch Polynomdivision um 1 verringern.
Ein einfaches Verfahren der Numerik ist die Intervallschachtelung.
Gleichungen vom Grad n haben n Lösungen. Sie sind in der Regel nicht alle reell.
Auch hier lässt sich eine unlösbare Gleichung finden, mit derselben Begründung wie oben: xⁿ = xⁿ + 1.

Graphische Verfahren

Graphische Verfahren können im Rahmen der Zeichengenauigkeit Anhaltspunkte über Anzahl und Lage der Lösungen geben.

Liegt die Gleichung in ihrer Normalform vor, lässt sich die linke Seite als Funktion auffassen, deren Graph nach einer Wertetafel mit hinreichender Genauigkeit zu zeichnen ist. Die Nullstellen (d. h. Schnittpunkte mit der x-Achse) sind dann die Lösungen.

Andernfalls sind die Funktionen, die der rechten und der linken Seite der Gleichung entsprechen, zusammen in ein Achsenkreuz zu zeichnen. Die x-Werte der Schnittpunkte geben die Lösung an. Quadratische Gleichungen werden so umgeformt, dass der quadratische Term nur links vom Gleichheitszeichen und mit dem Vorfaktor 1 zu stehen kommt. Dann kann man mittels Schablone die Einheitsparabel zeichnen und mit der aus der rechten Seite hervorgehenden Geraden zum Schnitt bringen. Dies ist rechts exemplarisch für die Gleichung x²=0,5x+0,5 gezeigt.

Siehe auch: Gleichung - Lösen von Ungleichungen