Evolute

Die Evolute einer ebenen Kurve ist die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises bewegt, wenn der Berührpunkt auf der Kurve entlang wandert. Oder auch: Die Evolute einer Kurve ist die Hüllkurve oder Enveloppe ihrer Normalen.

Zur nebenstehenden Figur: Ausgangskurve ist die schwarz gezeichnete Normalparabel. K, K₁, K₂,... sind ihre Krümmungskreise in den Punkten S, P₁, P₂... Deren Mittelpunkte M, M₁, M₂,... bilden die Evolute zu der Normalparabel. Der rechte Ast der Evolute entsteht, wenn die Parabelpunkte P nach links wandern.

Für eine ebene Kurve mit der Parameterdarstellung

${\vec {x}}(t)\,=\,{\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}\,$

ist die Parameterdarstellung der Evoluten ${\vec {u}}(t)\,=\,{\begin{pmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\end{pmatrix}}\,$ gegeben durch die Koordinaten des Krümmungsmittelpunkts

$u_{1}(t)=x_{1}(t)-x_{2}'(t){\frac {x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}}{x_{1}'(t)x_{2}''(t)-x_{1}''(t)x_{2}'(t)}}$

und

$u_{2}(t)=x_{2}(t)+x_{1}'(t){\frac {x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}}{x_{1}'(t)x_{2}''(t)-x_{1}''(t)x_{2}'(t)}}$.

Die Ausgangskurve, aus der eine Evolute entsteht, heißt (mit Hinblick auf die Evolute) deren Involute oder deren Evolvente.

Evoluten bekannter Kurven

• Zu einer Astroide: wiederum eine Astroide (doppelt so groß)
• Zu einer Ellipse: eine schiefe Astroide
• Zu einer Kardioide: wiederum eine Kardioide (ein Drittel so groß)
• Zu einem Kreis: ein Punkt, nämlich dessen Mittelpunkt
• Zu einer Deltoide: wiederum eine Deltoide (dreimal so groß)
• Zu einer Zykloide: eine kongruente Zykloide
• Zu einer Epizykloide: eine vergrößerte Epizykloide
• Zu einer Hypozykloide: eine ähnliche Hypozykloide
• Zu einer Logarithmischen Spirale: Die gleiche Logarithmische Spirale
• Zu einer Nephroide: wiederum eine Nephroide (halb so groß)
• Zu einer Parabel: eine Neilsche Parabel
• Zu einer Traktrix: eine Katenoide (Kettenlinie)

Alle Äquidistanten zur Ausgangskurve haben die gleiche Evolute.

Weblinks

• Evolute auf MathWorld