Principia Mathematica („Prinzipien der Mathematik“ bzw. „Mathematische Grundlagen“) ist ein Werk in drei Bänden über die Grundlagen der Mathematik von Bertrand Russell und Alfred North Whitehead, erstmals erschienen zwischen 1910 und 1913. Die Principia Mathematica stellen den Versuch dar, alle mathematischen Wahrheiten aus einem wohldefinierten Satz von Axiomen und Schlussregeln (Inferenzregeln der symbolischen Logik) herzuleiten, wie es durch das Hilbertprogramm vorgeschlagen wurde. Eine wichtige Inspiration und Grundlage hierfür bildet die Arbeit Gottlob Freges über die Logik, die einige von Russell entdeckte Widersprüche enthält, darunter den Widerspruch, der sich aus dem Konzept einer Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten ergibt (siehe Russellsche Antinomie). Diese Widersprüche in der Mengenlehre sollten durch ein System von Typen gelöst werden, der so genannten Typentheorie.
Die Principia behandeln nur die Mengentheorie, die Kardinalzahlen, die Ordinalzahlen und die Reellen Zahlen; tiefergehende Sätze aus der reellen Analysis sind nicht enthalten, aber gegen Ende des dritten Bandes wird klar, dass die gesamte bekannte Mathematik im Prinzip aus dem vorgestellten Formalismus entwickelt werden kann.
Es blieb aber zunächst unklar, ob dieses System von Axiomen und Ableitungsregeln wiederspruchsfrei ist und ob sich alle wahren Sätze auf diese Weise herleiten ließen. Dass das nicht möglich ist, zeigte einige Jahre später Kurt Gödel mit seinem Unvollständigkeitssatz. Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz zeigt, dass die Arithmetik nicht ihre eigene Widerspruchsfreiheit beweisen kann und damit erst recht nicht die Widerspruchsfreiheit komplexerer Systeme.