Primzahllücke

Die Länge einer Primzahllücke ist die Anzahl der Zahlen zwischen zwei benachbarten Primzahlen. Die kleinste Lücke ist 0 zwischen den Zahlen 2 und 3. Eine größte Lücke gibt es nicht, man kann sogar sehr einfach eine Primzahllücke erzeugen, die mindestens eine bestimmte bestimmte Größe hat.

Vereinzelt wird auch die Differenz zweier Primzahlen als Primzahllücke bezeichnet, wodurch alle Lücken um 1 größer werden werden.

Auftreten von Primzahllücken

Da eine Lücke der Länge 0 nur zwischen einer geraden und einer ungeraden Primzahl auftauchen kann ist offensichtlich, dass es sie nur einmal gibt. (2 ist die einzige gerade Primzahl).
Ob es unendlich viele Lücken der Länge 1 gibt ist eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik. Siehe Primzahlzwilling und Ungelöste Probleme der Mathematik.
Abgesehen von 0 ist die Länge einer Primzahllücken immer ungerade. (bei geraden Primzahllücken muss eine der begrenzenden Zahlen gerade sein, kann also bis auf die Ausnahme 2 keine Primzahl sein).

Konstruktion von beliebig großen Primzahllücken

n+1-Fakultät

Der einfachste Weg eine Primzahllücke erzeugen, die Mindestens die Länge n hat ist Folgender. Wir betrachten die Zahlen (n+1)! + 2 bis (n+1)! + n.

Da (n+1)! durch 2 teilbar ist, ist es auch (n+1)! + 2

Da (n+1)! durch 3 teilbar ist, ist es auch (n+1)! + 3

usw...

Da (n+1)! durch n teilbar ist, ist es auch (n+1)! + n

Da (n+1)! durch n+1 teilbar ist, ist es auch (n+1)! + n + 1

Dadurch haben wir eine Primzahllücke gefunden, die mindestens die Länge n hat. Ob sie genau die Länge n hat können wir nicht sagen, da dazu (n+1)! + 1 und (n+1)! + n + 2 Primzahlen sein müssten, was wir aber nicht wissen.

kgv(1,..,n)

Eine Variante der Methode, eine Primzahllücke über die Fakultät zu erzeugen, ist der Weg über dad kleinste gemeinsame Vielfache aller Zahlen von 1 bis n. Jede Zahl der Form $\operatorname {kgV} (1,..,n)+m\$ mit $2\leq m\leq n$ muß durch $m\$ teilbar sein. Beispiel n = 5

Da kgv(1,..,5) durch 2 teilbar ist, ist es auch kgv(1,..,5) + 2

Da kgv(1,..,5) durch 3 teilbar ist, ist es auch kgv(1,..,5) + 3

Da kgv(1,..,5) durch 4 teilbar ist, ist es auch kgv(1,..,5) + 4

Da kgv(1,..,5) durch 5 teilbar ist, ist es auch kgv(1,..,5) + 5

Produkt über die ersten n+1 Primzahlen

Es gibt dann noch ein subtileres Verfahren, das auf einer mathematischen Operation beruht, die im englischen primorial genannt wird (Notation: p_n#), also dem Produkt aller Primzahlen von 2 bis p_n. Hierbei ist nicht sichergestellt, dass alle natürlichen Zahlen zwischen 2 und p_n als Teiler vorhanden sind, aber dies ist auch gar nicht nötig. Interessant dabei ist, dass jede Zahl $n\leq p_{n+1}$ , die selbst keine Primzahl ist, ein Produkt aus Primzahlen zwischen 2 und p_n ist. Daraus folgt, dass für jede Primzahl p und jedes k mit $2\leq k\leq p$ der ggT(p#, k) größer 1 ist. Ein gemeinsamer Primfaktor teilt auch die Summe p#+k, die damit eine zusammengesetzte Zahlen ist.

Da P durch 2 teilbar ist, ist es auch P + 2

Da P durch 3 teilbar ist, ist es auch P + 3

Da P durch 2 teilbar ist, ist es auch P + 4

usw

Falls n eine Primzahl ist, ist P durch n teilbar, ansonsten durch einen Primteiler von n, durch den dann auch P + n teilbar ist.

Das gleiche gilt auch für P + n + 1

Wir haben jetzt also wieder eine Primzahllücke gefunden, die mindestens die Länge n hat. Diese hier wird aber durch deutlich kleinere Zahlen begrenzt als die obere.

Weblinks

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