x
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}
Die Formelsammlung zur Algebra ist ein Teil der Formelsammlung , in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.
Grundrechenarten
Es gilt:
Punkt- vor Strichrechnung. Das heißt Mal und Geteilt binden stärker als Plus und Minus.
a
+
(
b
⋅
c
)
+
d
=
a
+
b
⋅
c
+
d
{\displaystyle a+(b\cdot c)+d=a+b\cdot c+d}
(
a
⋅
b
)
+
(
c
⋅
d
)
=
a
⋅
b
+
c
⋅
d
{\displaystyle (a\cdot b)+(c\cdot d)=a\cdot b+c\cdot d}
(
a
+
b
)
⋅
(
c
+
d
)
≠
a
+
b
⋅
c
+
d
{\displaystyle (a+b)\cdot (c+d)\neq a+b\cdot c+d}
Bei Verwendung der Polnischen Notation bzw. der Umgekehrten Polnischen Notation bedarf es keiner Klammerung.
Axiome
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c
a · ( b · c ) = ( a · b ) · c = a · b · c
a + b = b + a
a · b = b · a
a · ( b + c ) = a · b + a · c
a · ( b - c ) = a · b - a · c
a
n
=
a
⋅
a
⋅
.
.
.
⋅
a
{\displaystyle a^{n}=a\cdot a\cdot ...\cdot a}
formal:
a
n
=
{
1
n
=
0
∏
i
=
1
n
a
n
≥
1
{\displaystyle a^{n}=\left\{{\begin{matrix}1&n=0\\\prod _{i=1}^{n}a&n\geq 1\end{matrix}}\right.}
a
n
{\displaystyle a^{n}}
a ist die Basisn ist der ExponentPotenzen mit gleicher Basis
a
x
⋅
a
y
=
a
x
+
y
{\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}}
a
b
a
c
=
a
b
−
c
{\displaystyle {a^{b} \over a^{c}}=a^{b-c}}
(
a
b
)
c
=
a
b
⋅
c
{\displaystyle ({a^{b}})^{c}=a^{b\cdot c}}
Potenzen mit gleichem Exponenten
x
a
⋅
y
a
=
(
x
⋅
y
)
a
{\displaystyle x^{a}\cdot y^{a}=(x\cdot y)^{a}}
x
a
y
a
=
(
x
y
)
a
{\displaystyle {x^{a} \over y^{a}}=\left({x \over y}\right)^{a}}
x
n
=
a
⇔
x
=
a
n
{\displaystyle x^{n}=a\Leftrightarrow x={\sqrt[{n}]{a}}}
x
=
a
n
{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}
n ist der Wurzelexponenta ist der RadikantWurzeln als Potenzen umgeschrieben
x
n
=
x
1
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1 \over n}}
Wurzel und Potenz (gilt nur bei ungeradem m und bei geradem m für positive x)
x
n
m
=
x
m
n
=
x
n
m
{\displaystyle {\sqrt[{m}]{x^{n}}}={\sqrt[{m}]{x}}\ ^{n}=x^{n \over m}}
Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten
a
n
⋅
b
n
=
a
⋅
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a\cdot b}}}
a
n
b
n
=
a
b
n
{\displaystyle {{\sqrt[{n}]{a}} \over {\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{a \over b}}}
a
m
n
=
a
n
⋅
m
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a}}}
Gesetze der Anordnung
Betrag:
|
x
|
=
{
x
,
x
>
0
−
x
,
x
<
0
0
,
x
=
0
{\displaystyle \left|x\right|={\begin{cases}x,&x>0\\-x,&x<0\\0,&x=0\end{cases}}}
Signum:
sig
(
x
)
=
{
1
,
x
>
0
−
1
,
x
<
0
0
,
x
=
0
{\displaystyle {\mbox{sig}}(x)={\begin{cases}1,&x>0\\-1,&x<0\\0,&x=0\end{cases}}}
Grundlegende Funktionen
Gleichungen n-ten Grades
Mit dem Hornerschema lässt sich die Berechnung von Funktionswerten für ein Polynom vereinfachen. Beispiel:
f
(
x
)
:=
x
2
−
2
x
−
8
{\displaystyle f(x):=x^{2}-2x-8}
Dazu legt man eine Tabelle an. Die Anzahl der Zeilen ist drei, die der Spalten um zwei größer als der Grad des Polynoms (für das Beispiel also vier Spalten). Die Koeffizienten scheibt man, von der zweiten Spalte beginnend, in die erste Zeile. Den x-Wert schreibt man in die erste Spalte der zweiten Zeile. Beginnend mit der zweiten Spalte werden die oberen beiden Zahlen addiert. Der Faktor der zweiten Zeile der nächsten Spalte ergibt sich aus der Multiplikation der voranstehenden Summe mit dem x-Wert. Kurz: Senkrecht wird summiert, schräg wird multipliziert. Der Funktionswert befindet sich zum Schluss in der dritten Zeile der letzten Spalte.
Beispiel für
f
(
−
2
)
{\displaystyle f(-2)}
1 -2 -8
x=-2 -2 8
---------------
1 -4 0
Sollte der Funktionswert, wie hier, Null sein, sind die restlichen Zahlen in der letzten Zeile das Ergebnis der Polynomdivision der Funktion durch
x
{\displaystyle x}
x
−
(
−
2
)
{\displaystyle x-(-2)}
f
(
x
)
=
(
x
−
4
)
(
x
+
2
)
{\displaystyle f(x)=(x-4)(x+2)}
Mittelwerte
a
+
b
2
{\displaystyle {a+b} \over 2}
allgemeiner Ansatz:
x
¯
=
1
n
⋅
∑
i
=
1
n
x
i
{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}}
a
⋅
b
{\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}}
allgemeiner Ansatz:
x
¯
=
∏
i
=
1
n
x
i
n
{\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}
gewogenes arithmetisches Mittel
x
¯
=
∑
i
=
1
n
x
¯
i
⋅
m
i
∑
i
=
1
m
m
i
{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}\cdot m_{i}}{\sum _{i=1}^{m}m_{i}}}}
Der Wert, welcher in einer geordneten Liste genau in der Mitte steht, bzw. bei zwei Werten in der Mitte das arithmetische Mittel dieser. z.B.: 1, 2, 3 -> Zentralwert = 2 z.B.: 1, 2, 3, 4 -> Zentralwert = (2+3)/2 = 2,5
Definition des Logarithmus zur Basis b
x
=
log
b
a
⇔
a
=
b
x
{\displaystyle x=\log _{b}a\Leftrightarrow a=b^{x}}
log
x
(
a
⋅
b
)
=
log
x
a
+
log
x
b
{\displaystyle \log _{x}(a\cdot b)=\log _{x}a+\log _{x}b}
log
x
(
a
b
)
=
log
x
a
−
log
x
b
{\displaystyle \log _{x}\left({a \over b}\right)=\log _{x}a-\log _{x}b}
log
x
(
a
b
)
=
b
⋅
log
x
a
{\displaystyle \log _{x}\left(a^{b}\right)=b\cdot \log _{x}a}
Zahlen der Form
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle a+b\cdot \mathrm {i} \,}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
n
!
=
1
⋅
2
⋅
.
.
.
⋅
n
=
∏
i
=
1
n
i
{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n=\prod _{i=1}^{n}i}
0
!
=
1
{\displaystyle 0!=1}
(
n
k
)
=
n
!
(
n
−
k
)
!
⋅
k
!
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}}
(
a
+
b
)
0
=
1
{\displaystyle (a+b)^{0}=1}
(
a
+
b
)
1
=
a
+
b
{\displaystyle (a+b)^{1}=a+b}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
(
a
+
b
)
4
=
a
4
+
4
a
3
b
+
6
a
2
b
2
+
4
a
b
3
+
b
4
{\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}}
...
k
=
0...
n
{\displaystyle k=0...n}
(
a
+
b
)
n
=
(
n
0
)
a
n
+
(
n
1
)
a
n
−
1
b
+
(
n
2
)
a
n
−
2
b
2
+
.
.
.
+
(
n
n
−
1
)
a
b
n
−
1
+
(
n
n
)
b
n
{\displaystyle (a+b)^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+...+{n \choose n-1}ab^{n-1}+{n \choose n}b^{n}}
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
{\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}
Potenzsummen
Hintergrundinformation in den Artikeln Summe und Reihe . Erklärungen zum Summenzeichen ebenfalls im Artikel Summe .
Rechenregeln
∑
i
=
1
n
c
=
n
⋅
c
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=n\cdot c}
n konstante Glieder ist soviel wie Multiplikation mit n )
∑
i
=
m
n
c
=
(
n
−
m
+
1
)
⋅
c
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}c=(n-m+1)\cdot c}
n -m +1 konstante Glieder)
∑
i
=
m
n
c
⋅
a
i
=
c
⋅
∑
i
=
m
n
a
i
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}c\cdot a_{i}=c\cdot \sum _{i=m}^{n}a_{i}}
∑
i
=
m
n
(
a
i
+
b
i
)
=
∑
i
=
m
n
a
i
+
∑
i
=
m
n
b
i
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=m}^{n}a_{i}+\sum _{i=m}^{n}b_{i}}
∑
i
=
1
n
i
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}
n natürlichen Zahlen .)
∑
i
=
m
n
i
=
(
n
+
m
)
(
n
−
m
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i={\frac {(n+m)(n-m+1)}{2}}}
n bis m natürlichen Zahlen .)
∑
i
=
1
n
(
2
i
−
1
)
=
n
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}}
n ungeraden Zahlen .)
∑
i
=
0
n
i
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
n Quadratzahlen )
∑
i
=
0
n
i
3
=
(
n
(
n
+
1
)
2
)
2
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}
n Kubikzahlen)
∑
i
=
0
n
q
i
=
1
−
q
n
+
1
1
−
q
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}q^{i}={\frac {\;\;1-q^{n+1}}{\!\!\!\!\!1-q}}}
geometrische Reihe )
∑
i
=
0
∞
q
i
=
1
1
−
q
mit
|
q
|
<
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }q^{i}={\frac {1}{1-q}}\qquad {\mbox{mit }}|q|<1}
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
k
b
n
−
k
=
(
a
+
b
)
n
(
a
,
b
∈
R
u
n
d
n
∈
N
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}=(a+b)^{n}\qquad (a,b\in \mathbb {R} \ \mathrm {und} \ n\in \mathbb {N} )}
Binomischer Lehrsatz )Spezialfälle dieser Formel sind:
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
=
2
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}}
a
=
1
,
b
=
1
{\displaystyle a=1,b=1}
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
=
0
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}=0}
a
=
−
1
,
b
=
1
{\displaystyle a=-1,b=1}
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
q
k
=
(
1
+
q
)
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}q^{k}=(1+q)^{n}}
a
=
q
,
b
=
1
{\displaystyle a=q,b=1}
Eine weitere Eigenschaft der Binomialkoeffizienten, die sich am pascalschen Dreieck ablesen lässt, ist die folgende:
∑
i
=
0
n
−
1
(
i
k
)
=
(
n
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}}
G = Grundwert , p = Prozentsatz , W = Prozentwert
W
=
G
⋅
p
100
oder
p
=
W
G
⋅
100
oder
G
=
W
⋅
100
p
{\displaystyle W=G\cdot {p \over 100}\quad {\mbox{oder}}\quad p={W \over G}\cdot 100\quad {\mbox{oder}}\quad G={W\cdot 100 \over p}}
Bezeichnungen
K0 = Anfangskapital
Kn = Endkapital (nach n Zinsperioden)
n = Laufzeit
p = Zinsfuß (Zinssatz in Prozent)
i = Zinssatz (mit i = p/100)
q = Zinsfaktor (mit q = 1 + i)
R0 = Rentenbarwert (zum Zeitpunkt t = 0)
Rn = Rentenendwert (nach n geleisteten Rentenzahlungen)
r = konstante Rentenrate oder Rate
n = Anzahl der Rentenperioden (Anzahl der Jahre, die der Rentenvorgang andauert)
p = Zinssatz der Verzinsung der Rentenraten bzw. des Kapitalbestandes
Einfache Zinsrechnung:
Endkapital:
K
n
=
K
0
∗
(
1
+
n
i
)
{\displaystyle \mathbf {K_{n}=K_{0}*(1+ni)} }
Zinseszins:
Endkapital:
K
n
=
K
0
∗
q
n
{\displaystyle \mathbf {K_{n}=K_{0}*q^{n}} }
Rentenrechnung
Je nachdem, zu welchem Zeitpunkt innerhalb der zugehörigen Zeitperiode die Rente zur Auszahlung kommt, unterscheidet man zwischen einer vorschüssigen Rente (pränumerando), wenn sie am Anfang, und einer nachschüssigen Rente (postnumerando), wenn sie am Ende des zugehörigen Zeitintervalls ausgezahlt wird.
Rentenrate für R0 :
r
(
n
a
)
=
R
0
∗
q
n
∗
(
q
−
1
q
n
−
1
)
{\displaystyle \mathbf {r(na)=R_{0}*q^{n}*\left({\frac {q-1}{q^{n}-1}}\right)} }
Rentenrate für Rn :
r
(
n
a
)
=
R
n
∗
(
q
−
1
q
n
−
1
)
{\displaystyle \mathbf {r(na)=R_{n}*\left({\frac {q-1}{q^{n}-1}}\right)} }
Rentenendwert:
R
n
(
n
a
)
=
r
∗
(
q
n
−
1
q
−
1
)
{\displaystyle \mathbf {R_{n}(na)=r*\left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)} }
Rentenbarwert:
R
0
(
n
a
)
=
(
r
q
n
)
∗
(
q
n
−
1
q
−
1
)
{\displaystyle \mathbf {R_{0}(na)=\left({\frac {r}{q^{n}}}\right)*\left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)} }
Rentenrate für R0 =:
Rentenrate für Rn :r* q^n -1/q-1
Rentenendwert:
R
n
(
n
a
)
=
r
∗
q
∗
(
q
n
−
1
q
−
1
)
{\displaystyle \mathbf {R_{n}(na)=r*q*\left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)} }
Rentenbarwert: =
Abschreibung
Jährlicher (j) Abschreibungsbetrag (Lineare Abschreibung)
r
=
K
0
−
K
n
n
{\displaystyle r={\frac {K_{0}-K_{n}}{n}}}
Jährlicher Abschreibungsbetrag (Geometrisch degressive Abschreibung)
r
j
=
K
0
∗
q
j
−
1
∗
i
{\displaystyle \mathbf {r_{j}=K_{0}*q^{j-1}*i} }
Ansparen mit vorschüssigen Raten:
K
n
=
K
0
⋅
q
n
+
r
⋅
q
⋅
(
q
n
−
1
q
−
1
)
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}+r\cdot q\cdot \left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)}
Abzahlen mit vorschüssigen Raten:
K
n
=
K
0
⋅
q
n
−
r
⋅
q
⋅
(
q
n
−
1
q
−
1
)
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}-r\cdot q\cdot \left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)}
Ansparen mit nachschüssigen Raten:
K
n
=
K
0
⋅
q
n
+
r
⋅
(
q
n
−
1
q
−
1
)
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}+r\cdot \left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)}
Abzahlen mit nachschüssigen Raten:
K
n
=
K
0
⋅
q
n
−
r
⋅
(
q
n
−
1
q
−
1
)
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}-r\cdot \left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)}
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3ba2638d05cd9ed8dafae7e34986399e48ea99)
![{\displaystyle x^{n}=a\Leftrightarrow x={\sqrt[{n}]{a}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/917b4d139491528101ad481db7e0c935ace79ddc)
![{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/4383df63ed5cb74b08884898ecd2450fc676b150)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1 \over n}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e655e32077e2ba64c824574e0492373a8d2f616)
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{x^{n}}}={\sqrt[{m}]{x}}\ ^{n}=x^{n \over m}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c0aecfe6b8beef085a0a9c91fe9d151cd7df26)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a\cdot b}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1cdc44e892d181f2e52332608a940e0d9f9a6b)
![{\displaystyle {{\sqrt[{n}]{a}} \over {\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{a \over b}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ea0c0652a15f75851a38de3e3b2a0164134b2c)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84dc4a86508aa9a7734d39880f066de0ccebe38)
![{\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/909e71dc66f835921034b4124c3efb49559349d7)
![{\displaystyle n!=\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\cdot {\sqrt {2\pi n}}\cdot \left[1+{\mathcal {O}}(1/n)\right]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d31b336363c6240e30293935cf474b6508bea70)
