Anharmonischer Oszillator

Ein anharmonischer Oszillator ist in der Quantenmechanik ein abgewandelter harmonischer Oszillator, dessen Hamiltonoperator um weitere Terme erweitert ist. Es ist ein Approximationsverfahren zur Lösung vieler verschiedener zeitunabhängiger quantenmechanischer Probleme, diese störungstheoretisch auf den anharmonischen Oszillator zurückzuführen. Durch die Taylorentwicklung komplizierterer, mit analytischen Mittteln unlösbarer Potentiale um ein Minimum zu einer der folgenden Formen $H_{i}$ lassen sich diese Probleme auf ein System reduzieren, für das die Energieeigenwerte bekannt sind.

Beispiele für anharmonische Oszillatoren sind durch folgende Hamiltonoperatoren gegeben:

$H_{1}={p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}kx^{2}+{1 \over 2}k'x^{2}$

oder

$H_{2}={p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}kx^{2}+\lambda x^{3}$

oder

$H_{3}={p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}kx^{2}+ax^{3}+bx^{4}$

Hierbei entsprechen die ersten beiden Summanden jeder Formel dem Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators. Die Terminologie "Anharmonischer Oszillator" wird gewöhnlich nur für diese Hamiltonoperatoren verwendet, für die geschlossene Lösungen existieren. Damit eine Taylorentwicklung möglich ist, müssen die in den obigen Formeln auftretenden Konstanten höherer Ordnung klein gegenüber k sein.

Für $H_{1}$ sind die Energieeigenwerte:

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(1+{\frac {k}{k'}}\right)^{\frac {1}{2}}$

$E_{n}^{(1)}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {k'}{2k}}\right)$ und $E_{n}^{(2)}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {k'^{2}}{8k^{2}}}\right)$ sind die die ersten Terme einer Taylorreihe von $E_{n}$.

Nachricht:

$\left[1+\left({\frac {k}{k'}}\right)\right]^{\frac {1}{2}}=1+{1 \over 2}{k \over k'}-{1 \over 8}{k^{2} \over k'^{2}}+\cdots$

für kleine ${k \over k'}$.