Tensor
Ein Tensor ist ein zusammengesetztes mathematisches Objekt, das geometrische oder physikalische Größen in Bezug auf ein beliebiges Koordinatensystem beschreibt.
Der Begriff Tensor (von lat. tendo = ich spanne) wurde zuerst für den mechanischen Spannungstensor eingeführt.
Tensoren haben eine Stufe auch Rang genannt.
- Ein Tensor nullter Stufe ist ein Skalar.
- Ein Tensor erster Stufe ist ein Vektor.
- Ein Tensor zweiter Stufe ist eine quadratische Matrix.
- Ein Tensor dritter Stufe ist ein Würfel mit definierter, ganzzahliger Kantenlänge, wobei an jedem ganzzahligen Punkt des Würfels ein Skalar angesiedelt ist.
- Tensoren höherer Stufe kann man analog mit höherdimensionalen Würfeln definieren.
Tensoren haben in allen Dimensionen die gleiche Kantenlänge und zeichnen sich durch ein bestimmtes Transformationsverhalten bei Drehungen des Koordinatensystems aus. So ist nicht jede quadratische Matrix ein Tensor zweiter Stufe, aber jeder Tensor zweiter Stufe eine quadratische Matrix.
Einen Tensor n-ter Stufe kann man als Argument einer mathematischen Operation auffassen, die einen Vektor n-ter Dimension a in einen Vektor n-ter Dimension b linear abbildet.
Bedeutung der Tensoren
Die physikalische Bedeutung der Tensoren begründet sich unter anderem in der Möglichkeit, hierüber forminvariante Gleichungen definieren zu können. Damit haben zum Beispiel Naturgesetze, die durch Tensorgleichungen ausgedrückt werden, in beliebigen Koordinatensystemen die gleiche Form (Gestalt).
Dies war eines der treibenden Motive, die Einstein zur Schaffung der Allgemeinen Relativitätstheorie angeregt haben.
Beispiele von Tensoren
Ein Beispiel eines Tensors ist der so genannte metrische Tensor der Relativitätstheorie.
Ein weiteres Beispiel ist der elektrodynamische Feldstärketensor. Er ermöglicht eine kompakte Darstellung der Maxwellgleichungen.
Der Energie-Impuls-Tensor ist Bestandteil der Einsteinschen Feldgleichungen. Hier liegt eine echte Tensorgleichung vor, die den Riemannschen Krümmungstensor mit dem Metrischen Tensor und dem Energie-Impuls-Tensor verknüpft.
Allerdings reduziert sich diese Tensorgleichung im Fall der "flachen Metrik" zu der trivialen Form 0 = 0.
Die "flache Metrik" beschreibt den Minkowskiraum.
Spezielle Energie-Impuls-Tensoren werden in der Kosmologie verwendet. Sie ermöglichen Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen und damit eine Beschreibung der Dynamik des Kosmos.
Tensoren und reine Mathematik
In der "reinen Mathematik" sind Tensoren im Bereich der multilinearen Algebra "anzusiedeln". Sie werden bei der Beschreibung differenzierbarer Mannigfaltigkeiten verwendet.
Man definiert einen Tensor der Varianz (r,s) als multilineare Abbildung mit s Argumenten und r Argumenten sind Elemente eines Vektorraumes und Argumente des zum Vektorrraum gehörenden Dualraumes.
Der Tensor hat dann die Form
Die Summe r + s heißt Stufe des Tensors.
Der durch den nachfolgenden Link referenzierte Artikel vergleicht die in der Physik verwendeten Tensoren mit der rein mathematischen Definition.