多值函数

圖中的不是真正的函數，因為X集合中的3對應Y集合中的二個元素b及c

多值函数（multivalued function，也稱為multifunction）為一數學名詞，是一種二元关系，其中每一個輸入都至少會對應一個輸出，而且有些會對應不止一個輸出。

嚴格來說，良好定義的函数在其定義域內的每個輸入都對應一個輸出，而且只對應一個輸出。因此多值函数本身用詞不當，因為只有單值函數才符合函數的定義。多值函數當當作為非单射函數的「反函數」。嚴格來說非单射函數沒有反函數（其「反函數」不滿足單值的定義），只存在逆關係。多值函數即為非单射函數的逆關係。

例子

• 每個大於0的實數都有二個實數的平方根，例如4的平方根是{−2, +2}.，0的平方根是0。
• 一般而言，許多不為0的複數都有二個平方根、三個立方根、n個n次方根，只有0的n次方根為0。
• 複對數函數是多值函數。$\log(a+bi)$（$a$和$b$為實數）的值是$\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni$，其中$n$為任意整數。 .
• 反三角函數為週期性的多值函数，例如

$\tan \left({\textstyle {\frac {\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {5\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {-3\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {(2n+1)\pi }{4}}}\right)=\cdots =1.$

因此，arctan(1)在本質上會對應許多數值：π/4, 5π/4, −3π/4等。若限制其tan x的定義域在−π/2 < x < π/2，此區域下tan x為單純遞增，則arctan(x)的值域會在−π/2 < y < π/2。這種限定區域下的值稱為主值。

• 不定積分也可以視為是多值函数，函數f的不定積分是一個函數的集合，集合中的每一個函數微分後都是f，因此不定積分存在一積分常數，因為積分常數不論本身數值多少，微分後都是0。

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