微积分学教程
《微积分学教程》是苏联数学家菲赫金哥尔茨（俄语：Григорий Михайлович Фихтенгольц） [1]为数学分析课程撰写的一本教程。
全书共三卷，目前最新版本是第八版。
背景
从上世纪50年代初起，在当时全面学习苏联的大背景下，国内的高等学校大量采用了翻译过来的苏联数学教材．这些教材体系严密，论证严谨，有效地帮助了青年学子打好扎实的数学基础，培养了一大批优秀的数学人才。到了60年代，国内开始编纂出版的大学数学教材逐步代替了原先采用的苏联教材，但还在很大程度上保留着苏联教材的影响，同时，一些苏联教材仍被广大教师和学生作为主要参考书或课外读物继续发挥着作用．客观地说，从解放初一直到文化大革命前夕，苏联数学教材在培养我国高级专门人才中发挥了重要的作用，起了不可忽略的影响，是功不可没的。
改革开放以来，通过接触并引进在体系及风格上各有特色的欧美数学教材，大家眼界为之一新，并得到了很大的启发和教益。但在很长一段时间中，尽管苏联的数学教学也在进行积极的探索与改革，但引进基本中断，更没有及时地进行跟踪，能看懂俄文数学教材原著的人也越来越少，事实上已造成了很大的隔膜，不能不说是一个很大的缺憾。
事情终于出现了一个转折的契机。今年初，在由中国数学会、中国工业与应用数学学会及国家自然科学基金委员会数学天元基金联合组织的迎春茶话会上，有数学家提出，莫斯科大学为庆祝成立250周年计划推出一批优秀教材，建议将其中的一些数学教材组织翻译出版。这一建议在会上得到广泛支持，并得到高等教育出版社的高度重视。会后高等教育出版社和数学天元基金一起邀请熟悉俄罗斯数学教材情况的专家座谈讨论，大家一致认为：在当前着力引进俄罗斯的数学教材，有助于扩大视野，开拓思路，对提高数学教学质量、促进数学教材改革均十分必要。《俄罗斯数学教材选译》系列正是在这样的情况下，经数学天元基金资助，由高等教育出版社组织出版的。
经过认真选题并精心翻译校订，本系列中所列入的教材，以莫斯科大学的教材为主，也包括俄罗斯其他一些著名大学的教材。有大学基础课程的教材，也有适合大学高年级学生及研究生使用的教学用书。有些教材虽曾翻译出版，但经多次修订重版，面目已有较大变化，至今仍广泛采用、深受欢迎，反射出俄罗斯在出版经典教材方面所作的不懈努力，对我们也是一个有益的借鉴。这广教材系列的出版，将中俄数学教学之间中断多年的链条重新连接起来，对推动我国数学课程设置和教学内容的改革，对提高数学素养、培养更多优秀的数学人才，可望发挥积极的作用，并起着深远的影响，无疑值得庆贺，特为之序。——李大潜 2005年10月[2]
编者的话
格里戈里．米哈伊洛维奇．菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》是一部卓越的科学与教育著作，曾多次再版，并被翻译成多种文字。《教程》包含实际材料之丰富，诸多一般定理在几何学、代数学、力学、物理学和技术领域的各种应用之众多，在同类教材中尚无出其右者。很多现代著名数学家都提到，正是Γ．M．菲赫金哥尔茨的《教程》使他们在大学时代培养起了对数学分析的兴趣和热爱，让他们能够第一次清晰地理解这门课程。
从《教程》第一版问世至今已有50年，其内容却并未过时，现在仍被综合大学以及技术和师范院校的学生像以前那样作为数学分析和高等数学的基本教材之一使用。不仅如此，尽管出现了新的一批优秀教材，但Γ．M．菲赫金哥尔茨的《教程》问世起，其读者群就一直不断扩大，现在还包括许多数理特长中学(译注：在俄罗斯，除了类似中国的以外语、音乐为特长的中学，还有以数学与物理学为重点培养方向的中学，其教学大纲包括更多更深的数学与物理学内容，学生则要经过特别的选拔。)的学生和参加工程师数学进修培训课程的学员。
《教程》所独有的一些特点是其需求量大的原因。《教程》所包括的主要理论内容是在20世纪初最后形成的现代数学分析的经典部分(不含测度论和一般集合论)。数学分析的这一部分在综合大学的一、二年级讲授，也(全部或大部分)包括在所有技术和师范院校的教学大纲中。《教程》第一卷包括实变一元与多元微分学及其基本应用，第二卷研究黎曼积分理论与级数理论，第三卷研究多重积分、曲线积分、曲面积分、斯蒂尔吉斯积分、傅里叶级数与傅里叶变换。
《教程》的主要特点之一是含有大量例题与应用实例，正如前文所说，通常这些内容非常有趣，其中的一部分在其他俄文文献中是根本没有的。
另外—个重要特点是材料的叙述通俗、详细和准确．尽管《教程》的篇幅巨大，但这并不妨碍对本书的掌握。恰恰相反，这使作者有可能把足够多的注意力放在新定义的论证和问题的提法，基本定理的详尽而细致的证明，以及能使读者更容易理解本课程的其他方面上。每个教师都知道，同时做到叙述的清晰性和严格性一般是很困难的(后者的欠缺将导致数学事实的扭曲)。格里戈里．米哈伊洛维奇．菲赫金哥尔茨的非凡的教学才能使他在整个《教程》中给出了解决上述问题的大量实例，这与其他一些因素一起，使《教程》成为初登讲台的教师的不可替代的范例和高等数学教学法专家们的研究对象。
《教程》还有一个特点是极少使用集合论的任何内容(包括记号)，同时保持了叙述的全部严格性。整体上，就像50年前那样，这个方法使很大一部分读者更容易初步掌握本课程。
在我们向读者推出的Γ．M．菲赫金哥尔茨的新版《教程》中，改正了在前几版中发现的一些印刷错误。此外，新版在读者可能产生某些不便的地方增补了(为数不多的)一些简短的注释，例如，当作者所使用的术语或说法与现在最通用的表述有所不同时，就会给出注释。新版的编辑对注释的内容承担全部责任。
编者对Β．M．马卡罗夫教授表示深深的谢意，他阅读了所有注释的内容并提出了很多有价值的意见．还要感谢国立圣彼得堡大学数学力学系数学分析教研室的所有工作人员，他们与本文作者一起讨论了与《教程》前几版的内容和新版的设想有关的各种问题。
编辑部预先感谢所有那些希望通过自己的意见来协助进一步提高出版质量的读者。——A．A．弗洛连斯基[3]
目录
第一卷
- 绪论 实数
- 第一章 极限论
- §1. 整序变量及其极限
- 22.变量、整序变量 23.整序变量的极限 24.无穷小量 25.例题 26.关于有极限的整序变量的一些定理 27.无穷大量
- §2. 极限的定理、若干容易求得的极限
- 28.对等式及不等式取极限 29.关于无穷小的引理 30.变量的算术运算 31.不定式 32.极限求法的例题 33.斯托尔茨（O.Stolz）定理及其应用
- §3. 单调整序变量
- 34.单调整序变量的极限 35.例题 36.数 37.数的近似计算法 38.关于区间套的引理
- §4. 收敛原理. 部分极限
- 39.收敛原理 40.部分数列及部分极限 41.布尔查诺-魏尔斯特拉斯（B.Bolzano-C.Weierstrass）引理 42.上极限及下极限
- §1. 整序变量及其极限
- 第二章 一元函数
- §1. 函数概念
- 43.变量及其变动区域 44.变量间的函数关系，例题 45.函数概念的定义 46.函数的解析表示法 47.函数的图像 48.几类最重要的函数 49.反函数的概念 50.反三角函数 51.函数的叠置，总结
- §2. 函数的极限
- 52.函数的极限的定义 53.变成整序变量的情形 54.例题 55.极限理论的拓广 56.例题 57.单调函数的极限 58.布尔查诺-柯西的一般判定法 59.函数的上极限及下极限
- §3. 无穷小及无穷大的分阶
- 60.无穷小的比较 61.无穷小的尺度 62.等价无穷小 63.主部的分出 64.应用题 65.无穷大的分阶
- §4. 函数的连续性及间断
- 66.函数在一点处的连续性的定义 67.连续函数的算术运算 68.连续函数的例题 69.单侧连续，间断的分类 70.间断函数的例题 71.单调函数的连续性及间断 72.初等函数的连续性 73.连续函数的叠置 74.一个函数方程的解 75.指数函数、对数函数及幂函数的函数特性 76.三角余弦及双曲余弦的函数特性 77.函数的连续性在计算极限时的应用 78.幂指数式 79.例题
- §5. 连续函数的性质
- 80.关于函数取零值的定理 81.应用于解方程 82.介值定理 83.反函数的存在 84.关于函数的有界性的定理 85.函数的最大值及最小值 86.一直连续的概念 87.康托定理 88.博雷尔引理 89.基本定理的新证明
- §1. 函数概念
- 第三章 导数及微分
- 第四章 利用导数研究函数
- 第五章 多元函数
- 第六章 函数行列式及其应用
- 第七章 微分学在几何上的应用
- 附录 函数扩充的问题
第二卷
第三卷
参考书目
- ^ Fikhtengolz.
- ^ 《微积分学教程(第一卷)(第8版)》，ISBN 5-9221-0436-5，菲赫金哥尔茨 著，杨弢亮 叶彦谦 译，郭思旭 较，高等教育出版社
- ^ 《微积分学教程(第一卷)(第8版)》，ISBN 5-9221-0436-5，菲赫金哥尔茨 著，杨弢亮 叶彦谦 译，郭思旭 较，高等教育出版社
外部链接
http://www.math.spbu.ru/analysis/history/fikhteng/index-e.html