Gradiente

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No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais).

O campo vetorial e o operador gradientes possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado.

Ex: ∇= distância vertical/ distância horizontal= Gradiente. O símbolo ∇, isto é, nabla é uma representação do gradiente.

Motivação: gradiente de temperatura

Gradiente em uma única direção (derivada)

Suponha que tenhamos uma viga retilínea cujas extremidades estão em contato com duas paredes a temperaturas diferentes, uma à esquerda e outra à direita, sendo a parede à direita a mais quente. Observamos que a temperatura da viga não é constante em relação ao espaço, e que cresce da esquerda para a direita ao longo de seu comprimento. Definindo a coordenada $x=0$ para a extremidade à esquerda e $x=L$ para a extremidade à direita, definimos a temperatura $T$ em uma posição qualquer (variável $x$) da viga como uma função $T(x)$.

Entre dois pontos muito próximos, distantes de um comprimento $dx$, teremos uma respectiva variação de temperatura $dT$. Em uma situação unidimensional, a razão entre essas grandezas fornece o gradiente, denotado por:$${\overrightarrow {\nabla }}T={dT \over dx}{\overrightarrow {i}}$$Note que, para apenas uma dimensão, a noção de derivada e gradiente convergem.

Em condução térmica, o gradiente de temperatura é responsável pelo surgimento de um fluxo de calor, segundo a Lei de Fourier, que, para condução unidimensional, é representada por:$$q_{x}''=-k{dT \over dx}$$onde $q_{x}''$ corresponde ao fluxo de calor, em $W/m^{2}$, e $k$ corresponde à condutividade térmica do material, em $W/m.K$. O sinal negativo indica que o calor fluirá do corpo mais quente em direção ao corpo mais frio.

Gradiente de temperatura no espaço tridimensional

Na prática, a temperatura da viga varia em função das coordenadas no espaço. Estabelecendo um ponto qualquer $M=(x,y,z)$, teremos, em uma situação mais próxima da realidade, uma função $T(x,y,z)$que descreve a temperatura nas coordenadas de $M$.

Se nos deslocarmos em apenas um eixo do espaço, podemos escrever a função $T$ considerando esse deslocamento. Para uma variação da coordenada $y$, por exemplo, teremos a relação:$$T(x,y+dy,z)=T(x,y,z)+{\partial T \over \partial y}dy$$Seguindo a mesma lógica, para um deslocamento entre um ponto qualquer $M$ e outro que chamaremos de $M'$, teremos um vetor ${\overrightarrow {h}}={\overrightarrow {MM'}}=(h_{x},h_{y},h_{z})$, havendo mudança da temperatura de $T(x,y,z)$ para $T(x+h_{x},y+h_{y},z+h_{z})$. Assim, teremos a relação:$$T(x+h_{x},y+h_{y},z+h_{z})=T(x,y,z)+{\partial T \over \partial x}(x,y,z)h_{x}+{\partial T \over \partial y}(x,y,z)h_{y}+{\partial T \over \partial z}(x,y,z)h_{z}$$É possível simplificar essa relação definindo um vetor gradiente de temperatura ${\overrightarrow {\nabla }}T$, no qual cada componente indica a variação da temperatura em cada coordenada:$${\overrightarrow {\nabla }}T(x,y,z)={\biggl (}{\partial T \over \partial x}(x,y,z),{\partial T \over \partial y}(x,y,z),{\partial T \over \partial z}(x,y,z){\biggr )}$$Assim, podemos representar a mudança de temperatura da posição $M$ para $M'$ por:$$T(M+{\overrightarrow {h}})=T(M)+{\overrightarrow {\nabla }}T(M)\cdot {\overrightarrow {h}}$$sendo ${\overrightarrow {\nabla }}T(M)\cdot {\overrightarrow {h}}$ o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor ${\overrightarrow {h}}$.

Da mesma forma que no caso unidimensional, o vetor gradiente de temperatura terá orientação partindo do mais frio em direção ao mais quente.

Assim, no contexto de transferência de calor, teremos a Lei de Fourier aplicada ao sistema tridimensional, representada por:$${\overrightarrow {q''}}=-k{\overrightarrow {\nabla }}T$$Novamente, ${\overrightarrow {q''}}$ corresponde ao fluxo de calor e $k$ corresponde à condutividade térmica do material. Perceba que, como o calor flui da região de temperatura mais alta para uma de temperatura mais baixa, os vetores fluxo de calor e gradiente de temperatura terão sentidos contrários.

Definição

Dois exemplos de gradiente. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

O vetor gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar $f_{(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$ é determinado via ênupla ordenada definida por:

${\mbox{grad}}\,f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\cdots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle$

ou, via notação de soma de Euler, por:

${\mbox{grad}}\,f=\sum ^{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\hat {e}}_{i}$

onde ${\hat {e}}_{i}$ são os vetores unitários ortogonais que definem a base a partir da qual se coordena o espaço e ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ representa o respectivo operador derivada parcial.

Já na notação de soma de Einstein, onde índices repetidos no mesmo fator implicam somatório, para o campo escalar φ:

${\mbox{grad}}\,\varphi =\partial _{i}\varphi \cdot {\hat {e}}_{i}$

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

$\nabla {\overrightarrow {f}}_{(x_{1},\dots ,x_{n})}={\mbox{grad}}\,f$

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:

$\nabla f={\mbox{grad}}\,f=D_{f}$

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Exemplo

Para a função escalar

$f_{\!\left(x,y,z\right)}=4x+10y^{2}-\sin z$

tem-se, na base cartesiana ${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$

${\mbox{grad}}\,f={\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial z}}{\hat {k}}$

que fornece por resposta a ênupla

${\vec {\nabla }}f=\left\langle 4;20y;-\cos z\right\rangle$

ou explicitamente

${\vec {\nabla }}f=(4){\hat {i}}+(20y){\hat {j}}+(-\cos z){\hat {k}}$

para qualquer ponto definido pelas coordenadas $\left(x,y,z\right)$, restando apenas a substituição dos respectivos valores x, y e z na expressão acima.

Expressões

Para todo campo escalar $f$ diferenciável em função do espaço cartesiano ${\vec {r}}=\left\langle x,y,z\right\rangle$ temos que:

$\nabla f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right\rangle$

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial {\vec {r}}}}$

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

Gradiente da função em 2-D f(x, y) = xe [^- (x² + y²)] é representada graficamente plotada como setas azuis

$\nabla f={\frac {df}{dx}}$

Propriedades

Linearidade

O gradiente é linear:

$\nabla \left(\alpha f+\beta g\right)=\alpha \nabla f+\beta \nabla g\qquad \left(\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ^{2}\right)$

Onde $\mathbb {F}$ é um corpo constante.

Lei de Leibniz

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

$\nabla \left(f\cdot g\right)=f\nabla g+g\nabla f$

E na divisão:

$\nabla \left(f/g\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g^{2}}}\qquad \left(g\neq 0\right)$

A inclinação da função f (x, y) = - (+ cos²x cos²y)² descrito como um campo de vectores projetada no plano inferior.

Ortogonalidade às curvas de nível

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja $f(x\,,y)$ uma função definida em $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto $C:\{(x,y)\in D|f(x,y)=k\}$ onde x e y são funções de um parâmetro t tal que $x(0)=x_{0}\,,y(0)=y_{0}$.

Então, temos:

$f(x(t)\,,y(t))=k$ (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

${\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}=0$

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em $(x_{0}\,,y_{0})$, logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradiente

O gradiente é revertido pela integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

$\Delta f=f_{Q}-f_{P}=\int _{\gamma _{P}}^{\gamma _{Q}}\nabla f\cdot {\vec {d\gamma }}$

Derivada direcional

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo,${\hat {u}}$). Analiticamente, a derivada direcional de dada f(x,y,z) (função escalar), é a taxa de variação instantânea de f em relação à distância na direção e sentido ${\hat {u}}$.

$\forall {\hat {u}}\quad D\!_{\hat {u}}\,f={\hat {u}}\cdot {\vec {\nabla }}f$

Assim, podemos tirar algumas observações a partir do produto escalar entre o gradiente de f e o versor ${\hat {u}}$:

1. Se o ângulo entre os vetores ${\vec {\nabla }}f$ e ${\hat {u}}$ , denotado por θ, for igual a zero. então teremos que a derivada direcional é máxima, e será igual ao módulo do gradiente de f(x,y,z), já que:

$\quad |D\!_{\hat {u}}\,f|=|{\hat {u}}||{\vec {\nabla }}f|cos(0)=D_{\hat {u}}\,f|_{max}=|{\vec {\nabla }}f|$

. 2. Se o ângulo θ for igual a $180^{o}$, então a derivada direcional terá seu valor mínimo e igual a menos o módulo do gradiente de f(x,y,z):

$\quad |D\!_{\hat {u}}\,f|=|{\hat {u}}||{\vec {\nabla }}f|cos(180)=D_{\hat {u}}\,f|_{min}=-|{\vec {\nabla }}f|$

3. Se f(x,y,z) representar uma curva de nível em que f(x,y,z) = k , onde k é uma constante, e se o vetor ${\hat {u}}$ for tangente à tal curva de nível, então o valor da derivada direcional é nula, pois ${\vec {\nabla }}f$ será perpendicular a ${\hat {u}}$ , e normal à curva de nível . Neste caso:

$D_{\hat {u}}f={\hat {u}}\cdot {\vec {\nabla }}f=0$

Sistemas de coordenadas

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianas

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {e}}_{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}$

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circulares

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}$

Onde $\rho$ representa a distância ao eixo z, $\phi$ é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricas

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {1}{rsen\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }$

Onde $r$ representa a distância à origem, $\theta$ é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e $\phi$ é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

Gradiente na Física

O conceito de gradiente na física está fortemente relacionado aos conceitos de campo conservativo e de função potencial, de tal forma que também na matemática se define campo vetorial conservativo.

Na física campos conservativos são campos que conservam a energia do sistema, isto é, campos onde não há dissipação de energia.

A função vetorial ${\overrightarrow {F}}$.é um campo vetorial conservativo se existe uma função escalar $\varphi$, chamada função potencial, tal que:$${\overrightarrow {F}}_{cons}=\nabla \varphi$$Sendo assim, dada uma função potencial $\varphi (x,y,z)$ou uma função potencial do tipo $\varphi (r)$, basta calcular o gradiente para encontrar o campo vetorial conservativo associado a $\varphi$.

Como $\varphi$é uma função de x, y, z então:

${\overrightarrow {F}}_{cons}(x,y,z)={\partial \varphi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \varphi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \varphi \over \partial z}{\vec {k}}$

Se $\varphi$é uma função implícita de x, y, z através de ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$, ou seja, $\varphi (r)=\varphi (r(x,y,z))$é necessário usar a regra da cadeia para calcular o respectivo gradiente. Potenciais deste tipo são chamados de potenciais centrais.

Cálculo do gradiente de potenciais centrais:

Muitos modelos de potenciais físicos são centrais, sendo assim de grande importância saber como realizar o cálculo deste tipo.

Através da regra da cadeia é possível ver que:

${\partial \varphi (r) \over \partial x}={d\varphi \over dr}{\partial r \over \partial x}=\varphi \prime (r){\partial \over \partial x}{\sqrt {(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}=\varphi \prime (r)\left[{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}2x\right]$

Levando em conta que ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$podemo ter que:

${\partial \varphi (r) \over \partial x}={\varphi \prime (r) \over r}x$

Igualmente para as outras variáveis do gradiente:

${\partial \varphi (r) \over \partial y}={\varphi \prime (r) \over r}y$ e ${\partial \varphi (r) \over \partial z}={\varphi \prime (r) \over r}z$;

Assim, com a soma das três derivadas, temos que :

${\vec {\nabla }}\varphi (r)=\varphi \prime (r){\hat {r}}$

Esta última fórmula é a preferencial para quando se tem potenciais centrais, pois ela nos fornece o campo gradiente com apenas uma derivação.

Noção intuitiva de gradiente

O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento.

Gradientes de tensão

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Fontes externas

• Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).
• Matemática para pais e filhos, Carol Vordeman, PubliFolha; Barry Lewis/Andrew Jeffrey/Marcus Weeks, São Paulo, (2011).

Ver também

• Teorema do gradiente
• Divergente
• Rotacional
• Degradê (Arte)
• Laplaciano
• Nabla