Lineaire code

Een lineaire code C is een deelruimte van de vectorruimte V bestaande uit alle mogelijke woorden ter lengte n. Hierbij is V een vectorruimte over een eindig lichaam K, waarbij K de verzameling symbolen is die kunnen optreden als symbool binnen een codewoord. Algemeen: K = GF(p^r).

voorbeeld

n=7, p=2, r=1 V is een vectorruimte bestaande uit alle mogelijke symboolrijen ter lengte 7, met de symbolen 0 en 1. Dus V bestaat uit 2⁷ = 128 symboolrijen.

Een code C is een lineaire deelruimte van V; alle woorden die voorkomen in C noemen we codewoorden.

Omdat C een lineaire deelruimte is, kunnen we C beschrijven als een ruimte die wordt voorgebracht door een aantal basisvectoren b₁, b₂, .... Voor ieder codewoord c uit C geldt dat c een lineaire combinatie (met factoren 0 en 1) is van de basisvectoren.

Een voorbeeld van een lineaire code C is de code voortgebracht door de basisvectoren die de rijen vormen van de volgende matrix:

${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&1&1\\0&1&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&0&1\end{bmatrix}}$

De lineaire code C in dit voorbeeld heeft dimensie 3, en bestaat dus uit 8 codewoorden: de lineaire combinaties van de drie basisvectoren (inclusief het nulwoord).