모함수 (물리학)

해밀턴 역학에서, 모함수(母函數, generating function)는 두 개의 일반화 좌표간의 정준변환을 연결해주는 함수이다. 조합론에서 쓰는 생성함수(generating function)과는 다른 함수이다.

도입

기존의 일반화 좌표 $\{p_{i},q_{i},t\}$로부터 정준변환에 의한 새로운 좌표 $\{P_{i},Q_{i},t\}$가 해밀턴 방정식의 형태를 유지하려면 다음과 같은 형태의 해밀턴의 원리를 만족하면 된다.

$\delta \int \left[\sum _{i}P_{i}{\dot {Q}}_{i}-{\hat {H}}(P_{i},Q_{i},t)+{dF \over dt}\right]dt$

여기서 ${\hat {H}}$는 새로운 좌표로 기술된 해밀토니언이고 $F$는 임의의 함수이다. 여기서 $F$에 관계된 항은, 적분하면 경로의 양 끝에만 관계된 값이 되고, 이는 변분하면 없어지게 된다. 따라서, 최종적으로 얻는 해밀턴 방정식은 $F$에 관계없는 식이 된다. 따라서 $F$를 자유롭게 선택할 수 있는데, 이 함수를 모함수라 한다.

그런데 좌표변환 관계식

$Q_{i}=Q_{i}(p_{i},q_{i},t)$

$P_{i}=P_{i}(p_{i},q_{i},t)$

에 의해 위의 식이 제약이 되기 때문에 $F$를 완전 자유롭게 선택할 수는 없게 된다. 위 제약에서 자유롭게 되기 위해서는 서로 독립적인 변수를 사용하여야 한다. 두 종류의 식에 의해 제약이 되므로 모함수가 선택할 수 있는 좌표는 $\{q_{i},Q_{i},t\}$ , $\{q_{i},P_{i},t\}$ , $\{p_{i},Q_{i},t\}$ 또는 $\{p_{i},P_{i},t\}$ 중 하나이다.

목록

기본적으로 다음과 같은 네 종류의 모함수가 있다.

종	모함수의 꼴	모함수의 미분
1종	$F=F_{1}(q_{i},Q_{i},t)\,\!$	$p_{i}={\frac {\partial F_{1}}{\partial q_{i}}}$ , $P_{i}=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}}$
2종	$F=F_{2}(q_{i},P_{i},t)-QP\,\!$	$p_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial q_{i}}}$ , $Q_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial P_{i}}}$
3종	$F=F_{3}(p_{i},Q_{i},t)+qp\,\!$	$q_{i}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p_{i}}}$ , $P_{i}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q_{i}}}$
4종	$F=F_{4}(p_{i},P_{i},t)+qp-QP\,\!$	$q_{i}=-{\frac {\partial F_{4}}{\partial p_{i}}}$ , $Q_{i}={\frac {\partial F_{4}}{\partial P_{i}}}$