라그랑주 정리 (군론)

라그랑주 정리는 프랑스 수학자 조제프루이 라그랑주의 이름이 붙은 군론의 정리로, 다음과 같은 내용이다.

• 임의의 유한군 G에 대해 그 부분군 H의 위수는 G의 위수를 나눈다.

증명

H의 좌잉여류를 생각해 보면, G의 임의의 원소 a, b에 대해,

1. |aH| = |bH|.
2. 만약 aH∩bH가 공집합이 아니라면, aH = bH.

임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서 G 상에서 'a와 b가 같은 H의 좌잉여류에 속한다'는 동치관계가 되므로, H의 좌잉여류들은 G를 분할한다. 모든 분할에 대해서 그 원소의 개수가 같고, 모두 더하면 |G|가 되므로 |H|는 |G|를 나눈다. 보다 형식적으로, G 상에서 H의 좌잉여류의 개수를 [G : H]라 쓰면 다음이 성립한다.

• $\left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|{\mbox{,}}$

이상에서 유한군이라는 제한을 없앤다면 이는 선택공리와 동치이다.

참고 문헌

• John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003.