연속체 역학 에서 무한소 변형 이론 (영어 : Infinitesimal strain theory )은 고체의 변형 을 설명하는 수학적 접근 방식이다. 이 이론에서는 재료 입자 의 변위 가 몸체의 관련 차원보다 훨씬 작다고(실제로 무한소 로 작다고) 가정한다. 따라서 공간의 각 지점에서 몸체의 기하학적 형태와 재료의 구성적 특성(예: 밀도 및 뻣뻣함 )은 변형에 의해 변하지 않는다고 가정할 수 있다.
이러한 가정으로 인해 연속체 역학 방정식은 상당히 단순해진다. 이 접근 방식을 작은 변형 이론 (영어 : small deformation theory ), 작은 변위 이론 (영어 : small displacement theory ) 또는 작은 변위 기울기 이론 (영어 : small displacement-gradient theory )이라고도 한다. 이는 반대 가정을 하는 유한 변형 이론 과 대조된다.
무한소 변형 이론은 콘크리트 및 강철 과 같이 비교적 단단한 탄성 재료로 만들어진 구조물의 응력 해석 을 위해 토목 및 기계 공학에서 일반적으로 채택된다. 이러한 구조물 설계의 일반적인 목표는 일반적인 하중 하에서 변형을 최소화하는 것이기 때문이다. 그러나 이 근사는 막대, 판 및 껍질과 같이 상당한 회전에 취약하여 결과의 신뢰성을 떨어뜨릴 수 있는 얇고 유연한 몸체의 경우 주의가 필요하다.[ 1]
연속체 의 무한소 변형의 경우, 변위 기울기 텐서 (2차 텐서)가 1에 비해 작을 때, 즉
‖
∇
u
‖
≪
1
{\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}
라그랑주 유한 변형 텐서
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
오일러 유한 변형 텐서
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
E
=
1
2
(
∇
X
u
+
(
∇
X
u
)
T
+
(
∇
X
u
)
T
∇
X
u
)
≈
1
2
(
∇
X
u
+
(
∇
X
u
)
T
)
{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\right)}
E
K
L
=
1
2
(
∂
U
K
∂
X
L
+
∂
U
L
∂
X
K
+
∂
U
M
∂
X
K
∂
U
M
∂
X
L
)
≈
1
2
(
∂
U
K
∂
X
L
+
∂
U
L
∂
X
K
)
{\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}\right)}
e
=
1
2
(
∇
x
u
+
(
∇
x
u
)
T
−
∇
x
u
(
∇
x
u
)
T
)
≈
1
2
(
∇
x
u
+
(
∇
x
u
)
T
)
{\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} (\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)}
e
r
s
=
1
2
(
∂
u
r
∂
x
s
+
∂
u
s
∂
x
r
−
∂
u
k
∂
x
r
∂
u
k
∂
x
s
)
≈
1
2
(
∂
u
r
∂
x
s
+
∂
u
s
∂
x
r
)
{\displaystyle e_{rs}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{s}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}\right)}
이 선형화는 연속체의 주어진 재료 점의 재료 및 공간 좌표에 거의 차이가 없으므로 라그랑주 설명과 오일러 설명이 대략적으로 동일하다는 것을 의미한다. 따라서 재료 변위 기울기 텐서 구성 요소와 공간 변위 기울기 텐서 구성 요소는 대략적으로 같다. 따라서 다음과 같다.
E
≈
e
≈
ε
=
1
2
(
(
∇
u
)
T
+
∇
u
)
{\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {e} \approx {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left((\nabla \mathbf {u} )^{T}+\nabla \mathbf {u} \right)}
E
K
L
≈
e
r
s
≈
ε
i
j
=
1
2
(
u
i
,
j
+
u
j
,
i
)
{\displaystyle E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)}
ε
i
j
{\displaystyle \varepsilon _{ij}}
ε
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}
ε
i
j
=
1
2
(
u
i
,
j
+
u
j
,
i
)
=
[
ε
11
ε
12
ε
13
ε
21
ε
22
ε
23
ε
31
ε
32
ε
33
]
=
[
∂
u
1
∂
x
1
1
2
(
∂
u
1
∂
x
2
+
∂
u
2
∂
x
1
)
1
2
(
∂
u
1
∂
x
3
+
∂
u
3
∂
x
1
)
1
2
(
∂
u
2
∂
x
1
+
∂
u
1
∂
x
2
)
∂
u
2
∂
x
2
1
2
(
∂
u
2
∂
x
3
+
∂
u
3
∂
x
2
)
1
2
(
∂
u
3
∂
x
1
+
∂
u
1
∂
x
3
)
1
2
(
∂
u
3
∂
x
2
+
∂
u
2
∂
x
3
)
∂
u
3
∂
x
3
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
[
ε
x
x
ε
x
y
ε
x
z
ε
y
x
ε
y
y
ε
y
z
ε
z
x
ε
z
y
ε
z
z
]
=
[
∂
u
x
∂
x
1
2
(
∂
u
x
∂
y
+
∂
u
y
∂
x
)
1
2
(
∂
u
x
∂
z
+
∂
u
z
∂
x
)
1
2
(
∂
u
y
∂
x
+
∂
u
x
∂
y
)
∂
u
y
∂
y
1
2
(
∂
u
y
∂
z
+
∂
u
z
∂
y
)
1
2
(
∂
u
z
∂
x
+
∂
u
x
∂
z
)
1
2
(
∂
u
z
∂
y
+
∂
u
y
∂
z
)
∂
u
z
∂
z
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}}
또한, 변형 기울기 는
F
=
∇
u
+
I
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +{\boldsymbol {I}}}
I
{\displaystyle {\boldsymbol {I}}}
ε
=
1
2
(
F
T
+
F
)
−
I
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}+{\boldsymbol {F}}\right)-{\boldsymbol {I}}}
또한 라그랑주 및 오일러 유한 변형 텐서의 일반식 으로부터 다음을 얻는다.
E
(
m
)
=
1
2
m
(
U
2
m
−
I
)
=
1
2
m
[
(
F
T
F
)
m
−
I
]
≈
1
2
m
[
{
∇
u
+
(
∇
u
)
T
+
I
}
m
−
I
]
≈
ε
e
(
m
)
=
1
2
m
(
V
2
m
−
I
)
=
1
2
m
[
(
F
F
T
)
m
−
I
]
≈
ε
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\frac {1}{2m}}[\{{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}+{\boldsymbol {I}}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\\\mathbf {e} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\end{aligned}}}
그림 1. 무한소 재료 요소의 2차원 기하학적 변형. 변형 전 가로
d
x
{\displaystyle dx}
d
y
{\displaystyle dy}
a
b
¯
=
(
d
x
+
∂
u
x
∂
x
d
x
)
2
+
(
∂
u
y
∂
x
d
x
)
2
=
d
x
1
+
2
∂
u
x
∂
x
+
(
∂
u
x
∂
x
)
2
+
(
∂
u
y
∂
x
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}
변위 기울기가 매우 작을 때, 즉
‖
∇
u
‖
≪
1
{\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}
a
b
¯
≈
d
x
+
∂
u
x
∂
x
d
x
{\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}
직사각형 요소의
x
{\displaystyle x}
정상 변형률 은 다음과 같이 정의된다.
ε
x
=
a
b
¯
−
A
B
¯
A
B
¯
{\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}}
A
B
¯
=
d
x
{\displaystyle {\overline {AB}}=dx}
ε
x
=
∂
u
x
∂
x
{\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}
마찬가지로,
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
ε
y
=
∂
u
y
∂
y
,
ε
z
=
∂
u
z
∂
z
{\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}
이 경우 원래 직교하는 두 재료선인
A
C
¯
{\displaystyle {\overline {AC}}}
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
공학 전단 변형률 은 다음과 같이 정의된다.
γ
x
y
=
α
+
β
{\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }
그림 1의 기하학적 형태에서 다음을 얻는다.
tan
α
=
∂
u
y
∂
x
d
x
d
x
+
∂
u
x
∂
x
d
x
=
∂
u
y
∂
x
1
+
∂
u
x
∂
x
,
tan
β
=
∂
u
x
∂
y
d
y
d
y
+
∂
u
y
∂
y
d
y
=
∂
u
x
∂
y
1
+
∂
u
y
∂
y
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}}
작은 회전에 대해, 즉
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
≪
1
{\displaystyle \ll 1}
tan
α
≈
α
,
tan
β
≈
β
{\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta }
α
=
∂
u
y
∂
x
,
β
=
∂
u
x
∂
y
{\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}
γ
x
y
=
α
+
β
=
∂
u
y
∂
x
+
∂
u
x
∂
y
{\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
u
x
{\displaystyle u_{x}}
u
y
{\displaystyle u_{y}}
γ
x
y
=
γ
y
x
{\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}}
마찬가지로
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
z
{\displaystyle z}
γ
y
z
=
γ
z
y
=
∂
u
y
∂
z
+
∂
u
z
∂
y
,
γ
z
x
=
γ
x
z
=
∂
u
z
∂
x
+
∂
u
x
∂
z
{\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}
무한소 변형 텐서의 텐서 전단 변형률 성분은 공학 변형률 정의인
γ
{\displaystyle \gamma }
[
ε
x
x
ε
x
y
ε
x
z
ε
y
x
ε
y
y
ε
y
z
ε
z
x
ε
z
y
ε
z
z
]
=
[
ε
x
x
γ
x
y
/
2
γ
x
z
/
2
γ
y
x
/
2
ε
y
y
γ
y
z
/
2
γ
z
x
/
2
γ
z
y
/
2
ε
z
z
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}
유한 변형 텐서 로부터 다음을 얻는다.
d
x
2
−
d
X
2
=
d
X
⋅
2
E
⋅
d
X
or
(
d
x
)
2
−
(
d
X
)
2
=
2
E
K
L
d
X
K
d
X
L
{\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}
그러면 무한소 변형에 대해 다음을 얻는다.
d
x
2
−
d
X
2
=
d
X
⋅
2
ε
⋅
d
X
or
(
d
x
)
2
−
(
d
X
)
2
=
2
ε
K
L
d
X
K
d
X
L
{\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}
(
d
X
)
2
{\displaystyle (dX)^{2}}
d
x
−
d
X
d
X
d
x
+
d
X
d
X
=
2
ε
i
j
d
X
i
d
X
d
X
j
d
X
{\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}}
작은 변형에 대해
d
x
≈
d
X
{\displaystyle dx\approx dX}
d
x
+
d
X
d
X
≈
2
{\displaystyle {\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2}
그러면 다음을 얻는다.
d
x
−
d
X
d
X
=
ε
i
j
N
i
N
j
=
N
⋅
ε
⋅
N
{\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N} }
N
i
=
d
X
i
d
X
{\displaystyle N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}}
d
X
{\displaystyle d\mathbf {X} }
N
{\displaystyle \mathbf {N} }
법선 변형률
e
(
N
)
{\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
N
{\displaystyle \mathbf {N} }
N
=
I
1
{\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}}
e
(
I
1
)
=
I
1
⋅
ε
⋅
I
1
=
ε
11
.
{\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}.}
마찬가지로,
N
=
I
2
{\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}}
N
=
I
3
{\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}}
ε
22
{\displaystyle \varepsilon _{22}}
ε
33
{\displaystyle \varepsilon _{33}}
정규 직교 기저 (
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}
ε
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
ε
i
j
e
i
⊗
e
j
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}
ε
_
_
=
[
ε
11
ε
12
ε
13
ε
12
ε
22
ε
23
ε
13
ε
23
ε
33
]
{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}
e
^
1
,
e
^
2
,
e
^
3
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}
ε
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
ε
^
i
j
e
^
i
⊗
e
^
j
⟹
ε
^
_
_
=
[
ε
^
11
ε
^
12
ε
^
13
ε
^
12
ε
^
22
ε
^
23
ε
^
13
ε
^
23
ε
^
33
]
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}}
ε
^
i
j
=
ℓ
i
p
ℓ
j
q
ε
p
q
{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}}
아인슈타인 합 규약 이 사용되었고,
ℓ
i
j
=
e
^
i
⋅
e
j
{\displaystyle \ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{j}}
ε
^
_
_
=
L
_
_
ε
_
_
L
_
_
T
{\displaystyle {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}}
[
ε
^
11
ε
^
12
ε
^
13
ε
^
21
ε
^
22
ε
^
23
ε
^
31
ε
^
32
ε
^
33
]
=
[
ℓ
11
ℓ
12
ℓ
13
ℓ
21
ℓ
22
ℓ
23
ℓ
31
ℓ
32
ℓ
33
]
[
ε
11
ε
12
ε
13
ε
21
ε
22
ε
23
ε
31
ε
32
ε
33
]
[
ℓ
11
ℓ
12
ℓ
13
ℓ
21
ℓ
22
ℓ
23
ℓ
31
ℓ
32
ℓ
33
]
T
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}}
변형 텐서에 대한 특정 연산은 변형 구성 요소를 나타내는 데 사용되는 정규 직교 좌표계와 관계없이 동일한 결과를 제공한다. 이러한 연산의 결과는 변형 불변량 (영어 : strain invariants )이라고 한다. 가장 일반적으로 사용되는 변형 불변량은 다음과 같다.
I
1
=
t
r
(
ε
)
I
2
=
1
2
{
[
t
r
(
ε
)
]
2
−
t
r
(
ε
2
)
}
I
3
=
det
(
ε
)
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}
I
1
=
ε
11
+
ε
22
+
ε
33
I
2
=
ε
11
ε
22
+
ε
22
ε
33
+
ε
33
ε
11
−
ε
12
2
−
ε
23
2
−
ε
31
2
I
3
=
ε
11
(
ε
22
ε
33
−
ε
23
2
)
−
ε
12
(
ε
21
ε
33
−
ε
23
ε
31
)
+
ε
13
(
ε
21
ε
32
−
ε
22
ε
31
)
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{12}^{2}-\varepsilon _{23}^{2}-\varepsilon _{31}^{2}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}}
좌표계 (
n
1
,
n
2
,
n
3
{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}
ε
_
_
=
[
ε
1
0
0
0
ε
2
0
0
0
ε
3
]
⟹
ε
=
ε
1
n
1
⊗
n
1
+
ε
2
n
2
⊗
n
2
+
ε
3
n
3
⊗
n
3
{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}}
n
1
,
n
2
,
n
3
{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}
주 변형률 (영어 : principal strains )이라고 하며, 방향
n
i
{\displaystyle \mathbf {n} _{i}}
임의의 정규 직교 좌표계에서 변형 텐서의 구성 요소가 주어졌을 때, 다음 방정식계를 풀어 고유값 분해 를 사용하여 주 변형률을 찾을 수 있다.
(
ε
_
_
−
ε
i
I
_
_
)
n
i
=
0
_
{\displaystyle ({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}}
n
i
{\displaystyle \mathbf {n} _{i}}
체적 변형률 (영어 : volumetric strain )은 팽창 또는 압축으로 인해 발생하는 부피의 상대적 변화이며, 텐서의 첫 번째 변형 불변량 또는 트레이스 이다.
δ
=
Δ
V
V
0
=
I
1
=
ε
11
+
ε
22
+
ε
33
{\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}
a
⋅
(
1
+
ε
11
)
×
a
⋅
(
1
+
ε
22
)
×
a
⋅
(
1
+
ε
33
)
{\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}
0 = a3 이므로
Δ
V
V
0
=
(
1
+
ε
11
+
ε
22
+
ε
33
+
ε
11
⋅
ε
22
+
ε
11
⋅
ε
33
+
ε
22
⋅
ε
33
+
ε
11
⋅
ε
22
⋅
ε
33
)
⋅
a
3
−
a
3
a
3
{\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}
1
≫
ε
i
i
≫
ε
i
i
⋅
ε
j
j
≫
ε
11
⋅
ε
22
⋅
ε
33
{\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}
순수 전단의 경우 부피 변화가 없음을 알 수 있다.
무한소 변형률 텐서
ε
i
j
{\displaystyle \varepsilon _{ij}}
코시 응력 텐서 와 유사하게 다른 두 텐서의 합으로 표현될 수 있다.
평균 변형률 텐서 (영어 : mean strain tensor ) 또는 체적 변형률 텐서 (영어 : volumetric strain tensor ) 또는 구형 변형률 텐서
ε
M
δ
i
j
{\displaystyle \varepsilon _{M}\delta _{ij}}
영어 : spherical strain tensor )는 팽창 또는 체적 변화와 관련이 있다.변형률 편향 텐서 (영어 : strain deviator tensor )라고 불리는 편향 구성 요소
ε
i
j
′
{\displaystyle \varepsilon '_{ij}}
ε
i
j
=
ε
i
j
′
+
ε
M
δ
i
j
{\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon '_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}}
ε
M
{\displaystyle \varepsilon _{M}}
ε
M
=
ε
k
k
3
=
ε
11
+
ε
22
+
ε
33
3
=
1
3
I
1
e
{\displaystyle \varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}}
편향 변형률 텐서는 무한소 변형률 텐서에서 평균 변형률 텐서를 빼서 얻을 수 있다.
ε
i
j
′
=
ε
i
j
−
ε
k
k
3
δ
i
j
[
ε
11
′
ε
12
′
ε
13
′
ε
21
′
ε
22
′
ε
23
′
ε
31
′
ε
32
′
ε
33
′
]
=
[
ε
11
ε
12
ε
13
ε
21
ε
22
ε
23
ε
31
ε
32
ε
33
]
−
[
ε
M
0
0
0
ε
M
0
0
0
ε
M
]
=
[
ε
11
−
ε
M
ε
12
ε
13
ε
21
ε
22
−
ε
M
ε
23
ε
31
ε
32
ε
33
−
ε
M
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\ \varepsilon '_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}&\varepsilon '_{12}&\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{21}&\varepsilon '_{22}&\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{31}&\varepsilon '_{32}&\varepsilon '_{33}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}
(
n
1
,
n
2
,
n
3
{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}
팔면체 평면 (영어 : octahedral plane )은 세 주 방향과 같은 각도를 이루는 법선을 가진 평면이다. 팔면체 평면에서의 공학 전단 변형률 을 팔면체 전단 변형률 (영어 : octahedral shear strain )이라고 하며 다음으로 주어진다.
γ
o
c
t
=
2
3
(
ε
1
−
ε
2
)
2
+
(
ε
2
−
ε
3
)
2
+
(
ε
3
−
ε
1
)
2
{\displaystyle \gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}}
ε
1
,
ε
2
,
ε
3
{\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}
팔면체 평면에서의 법선 변형률 은 다음으로 주어진다.
ε
o
c
t
=
1
3
(
ε
1
+
ε
2
+
ε
3
)
{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}
등가 변형률 (영어 : equivalent strain ) 또는 폰 미제스 등가 변형률이라고 불리는 스칼라량은 고체의 변형 상태를 설명하는 데 자주 사용된다. 등가 변형률에 대한 여러 정의가 문헌에서 발견될 수 있다. 소성 에 대한 문헌에서 일반적으로 사용되는 정의는 다음과 같다.
ε
e
q
=
2
3
ε
d
e
v
:
ε
d
e
v
=
2
3
ε
i
j
d
e
v
ε
i
j
d
e
v
;
ε
d
e
v
=
ε
−
1
3
t
r
(
ε
)
I
{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}}
σ
e
q
=
3
2
σ
d
e
v
:
σ
d
e
v
{\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}}
주어진 변형률 성분
ε
i
j
{\displaystyle \varepsilon _{ij}}
u
i
,
j
+
u
j
,
i
=
2
ε
i
j
{\displaystyle u_{i,j}+u_{j,i}=2\varepsilon _{ij}}
u
i
{\displaystyle u_{i}}
생브낭 에 의해 발견되었으며, "생브낭 호환성 방정식 "이라고 불린다.
호환성 함수는 단일값 연속 변위 함수
u
i
{\displaystyle u_{i}}
색인 표기법으로 호환성 방정식은 다음과 같이 표현된다.
ε
i
j
,
k
m
+
ε
k
m
,
i
j
−
ε
i
k
,
j
m
−
ε
j
m
,
i
k
=
0
{\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0}
공학 표기법으로,
∂
2
ϵ
x
∂
y
2
+
∂
2
ϵ
y
∂
x
2
=
2
∂
2
ϵ
x
y
∂
x
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}}
∂
2
ϵ
y
∂
z
2
+
∂
2
ϵ
z
∂
y
2
=
2
∂
2
ϵ
y
z
∂
y
∂
z
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}}
∂
2
ϵ
x
∂
z
2
+
∂
2
ϵ
z
∂
x
2
=
2
∂
2
ϵ
z
x
∂
z
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}}
∂
2
ϵ
x
∂
y
∂
z
=
∂
∂
x
(
−
∂
ϵ
y
z
∂
x
+
∂
ϵ
z
x
∂
y
+
∂
ϵ
x
y
∂
z
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}
∂
2
ϵ
y
∂
z
∂
x
=
∂
∂
y
(
∂
ϵ
y
z
∂
x
−
∂
ϵ
z
x
∂
y
+
∂
ϵ
x
y
∂
z
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}
∂
2
ϵ
z
∂
x
∂
y
=
∂
∂
z
(
∂
ϵ
y
z
∂
x
+
∂
ϵ
z
x
∂
y
−
∂
ϵ
x
y
∂
z
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}
연속체에서의 평면 변형률 상태. 실제 공학 부품에서 응력 (및 변형률)은 3차원 텐서 이지만, 긴 금속 빌렛과 같은 프리즘형 구조물에서는 구조물의 길이가 다른 두 차원보다 훨씬 크다. 길이와 관련된 변형률, 즉 법선 변형률
ε
33
{\displaystyle \varepsilon _{33}}
ε
13
{\displaystyle \varepsilon _{13}}
ε
23
{\displaystyle \varepsilon _{23}}
변형 텐서 는 다음과 같이 작성된다.
ε
_
_
=
[
ε
11
ε
12
0
ε
21
ε
22
0
0
0
0
]
{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}
텐서 를 나타낸다. 이 변형 상태를 평면 변형률이라고 한다. 해당 응력 텐서는 다음과 같다.
σ
_
_
=
[
σ
11
σ
12
0
σ
21
σ
22
0
0
0
σ
33
]
{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}
σ
33
{\displaystyle \sigma _{33}}
ϵ
33
=
0
{\displaystyle \epsilon _{33}=0}
반평면 변형률은 물체에서 발생할 수 있는 또 다른 특수한 변형 상태이며, 예를 들어 나선 전위 근처 영역에서 발생할 수 있다. 반평면 변형률에 대한 변형 텐서 는 다음과 같이 주어진다.
ε
_
_
=
[
0
0
ε
13
0
0
ε
23
ε
13
ε
23
0
]
{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}
무한소 변형 텐서는 다음으로 정의된다.
ε
=
1
2
[
∇
u
+
(
∇
u
)
T
]
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}
∇
u
=
ε
+
W
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}
W
:=
1
2
[
∇
u
−
(
∇
u
)
T
]
{\displaystyle {\boldsymbol {W}}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}
W
{\displaystyle {\boldsymbol {W}}}
무한소 회전 텐서 또는 무한소 각변위 텐서 (무한소 회전 행렬 과 관련 있음)이다. 이 텐서는 비대칭 이다. 무한소 변형에 대해
W
{\displaystyle {\boldsymbol {W}}}
|
W
i
j
|
≪
1
{\displaystyle |W_{ij}|\ll 1}
모두 가 무한소일 때만 작다는 점에 유의한다.
비대칭 2차 텐서는 세 개의 독립적인 스칼라 성분을 가진다. 이 세 성분은 다음과 같이 축 벡터
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
W
i
j
=
−
ϵ
i
j
k
w
k
;
w
i
=
−
1
2
ϵ
i
j
k
W
j
k
{\displaystyle W_{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~W_{jk}}
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon _{ijk}}
순열 기호 이다. 행렬 형태로
W
_
_
=
[
0
−
w
3
w
2
w
3
0
−
w
1
−
w
2
w
1
0
]
;
w
_
=
[
w
1
w
2
w
3
]
{\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {W}}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}}
무한소 회전 벡터 라고도 불린다. 회전 벡터는 변위 기울기와 다음 관계로 관련된다.
w
=
1
2
∇
×
u
{\displaystyle \mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} }
w
i
=
1
2
ϵ
i
j
k
u
k
,
j
{\displaystyle w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}}
‖
W
‖
≪
1
{\displaystyle \lVert {\boldsymbol {W}}\rVert \ll 1}
ε
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}}
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
|
w
|
{\displaystyle |\mathbf {w} |}
연속적인 단일값 변위장
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
ε
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}
텐서 미분 (연속체 역학) ) 다음을 얻는다.
∇
×
ε
=
e
i
j
k
ε
l
j
,
i
e
k
⊗
e
l
=
1
2
e
i
j
k
[
u
l
,
j
i
+
u
j
,
l
i
]
e
k
⊗
e
l
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}
u
l
,
j
i
=
u
l
,
i
j
{\displaystyle u_{l,ji}=u_{l,ij}}
e
i
j
k
u
l
,
j
i
=
(
e
12
k
+
e
21
k
)
u
l
,
12
+
(
e
13
k
+
e
31
k
)
u
l
,
13
+
(
e
23
k
+
e
32
k
)
u
l
,
32
=
0
{\displaystyle e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0}
1
2
e
i
j
k
u
j
,
l
i
=
(
1
2
e
i
j
k
u
j
,
i
)
,
l
=
(
1
2
e
k
i
j
u
j
,
i
)
,
l
=
w
k
,
l
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}}
∇
×
ε
=
w
k
,
l
e
k
⊗
e
l
=
∇
w
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }
텐서의 회전 에 관한 중요한 항등식으로부터 우리는 연속적인 단일값 변위장
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
∇
×
(
∇
u
)
=
0
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.}
∇
u
=
ε
+
W
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}
∇
×
W
=
−
∇
×
ε
=
−
∇
w
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {W}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .}
원통 좌표계 (
r
,
θ
,
z
{\displaystyle r,\theta ,z}
u
=
u
r
e
r
+
u
θ
e
θ
+
u
z
e
z
{\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}
[ 2]
ε
r
r
=
∂
u
r
∂
r
ε
θ
θ
=
1
r
(
∂
u
θ
∂
θ
+
u
r
)
ε
z
z
=
∂
u
z
∂
z
ε
r
θ
=
1
2
(
1
r
∂
u
r
∂
θ
+
∂
u
θ
∂
r
−
u
θ
r
)
ε
θ
z
=
1
2
(
∂
u
θ
∂
z
+
1
r
∂
u
z
∂
θ
)
ε
z
r
=
1
2
(
∂
u
r
∂
z
+
∂
u
z
∂
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}
물리학에서 흔히 사용되는 구형 좌표계 (r, θ, φ): 반경 거리 r, 극각 θ (세타 ), 방위각 φ (파이 ). 종종 r 대신 ρ (로 )가 사용된다. 구형 좌표계 (
r
,
θ
,
ϕ
{\displaystyle r,\theta ,\phi }
u
=
u
r
e
r
+
u
θ
e
θ
+
u
ϕ
e
ϕ
{\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }}
[ 2]
ε
r
r
=
∂
u
r
∂
r
ε
θ
θ
=
1
r
(
∂
u
θ
∂
θ
+
u
r
)
ε
ϕ
ϕ
=
1
r
sin
θ
(
∂
u
ϕ
∂
ϕ
+
u
r
sin
θ
+
u
θ
cos
θ
)
ε
r
θ
=
1
2
(
1
r
∂
u
r
∂
θ
+
∂
u
θ
∂
r
−
u
θ
r
)
ε
θ
ϕ
=
1
2
r
(
1
sin
θ
∂
u
θ
∂
ϕ
+
∂
u
ϕ
∂
θ
−
u
ϕ
cot
θ
)
ε
ϕ
r
=
1
2
(
1
r
sin
θ
∂
u
r
∂
ϕ
+
∂
u
ϕ
∂
r
−
u
ϕ
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\frac {1}{2m}}[\{{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}+{\boldsymbol {I}}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\\\mathbf {e} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f23afe38e5f63d74050dbaf5d362b65b4da1ca0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc12c6f3d7e5049f74857861c3178c3f6728d99)
이 부분의 본문은 호환성 (역학)입니다.
![{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/a120dd47853fdf623ed080096e75e2069e84c220)
![{\displaystyle {\boldsymbol {W}}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f7c996edd7b15b9d61e5274b9927c5ca3e68dc)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/13fbd0b77f6478a70d04b0f31759e5076ca30028)
