3대 작도 불가능 문제

3대 작도 불가능 문제(３大作圖不可能問題)는 고대 그리스 시대부터 내려온 세 가지 작도 문제이다. 오랜 시간 동안 많은 사람들이 풀이를 구하려고 했으나 성공하지 못했고, 19세기에 들어와서 세 가지 문제 모두 작도가 불가능하다는 것이 증명되었다. 세 가지 문제는 다음과 같다.

1. 주어진 각을 삼등분하는 문제
2. 주어진 정육면체의 2배 부피를 가지는 정육면체를 작도하는 문제
3. 주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 문제

주어진 각을 삼등분하는 문제

각의 삼등분 문제는 절대값이 1인 임의의 복소수의 삼중근을 구하는 문제와 같으므로, 일반적으로 눈금없는 자와 컴파스를 이용하여 작도할 수 없다.

종이를 접거나 특수한 도구를 사용하여 주어진 각을 삼등분하는 각을 만들 수는 있지만, 이것은 눈금없는 자와 컴파스를 이용한다는 문제의 조건에 어긋난다.

이 문제는 프랑스의 수학자 방첼(Pierre Wantzel)이 1837년에 60도를 삼등분하는 작도가 불가능함을 보임으로써 끝이 났다. 이것은 주어진 어떤 각도 삼등분할 수 없다는 뜻이 아니다. 직각을 비롯한 무한히 많은 각을 자와 컴퍼스만으로 삼등분할 수 있지만, 한편 자와 컴퍼스만으로 삼등분할 수 없는 각 또한 무수히 많다는 뜻이다.

주어진 정육면체의 2배 부피를 가지는 정육면체를 작도하는 문제

이 문제는 흔히 델로스의 문제라고도 부른다. 전설에 따르면 기원전 430년, 아테네 시민들이 전염병을 없애려면 어떻게 해야 하냐고 델로스의 아폴로 신탁에 물었을 때, '제단을 두 배로 만들라'는 답을 들었다고 한다. 이에 아테네 시민들이 제단의 각 변을 두 배로 늘려서 만들었는데도, 전염병이 수그러들지 않았다. 왜냐하면 신탁의 답변은 제단의 길이를 두배로 늘리는 것이 아니라 제단의 부피를 두 배로 늘리라는 것이었기 때문이다.

원래 정육면체의 부피를 V라고 한다면, 2V의 부피를 가지는 정육면체는 원래 정육면체보다 변의 길이가 ${\sqrt[{3}]{2}}$배가 되어야 한다. ${\sqrt[{3}]{2}}$는 작도가능한 수가 아니므로, 이 문제는 눈금없는 자와 컴파스로는 해결할 수 없다.

주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 문제

눈금없는 자와 컴퍼스를 이용해서는 $1:{\sqrt {\pi }}$와 같은 비율을 만들 수 없기 때문에 이 문제는 해결이 불가능하다.