그람-슈미트 과정

그람-슈미트 직교정규화(영어: Gram-Schmidt orthonormalization) 또는 그람-슈미트 과정(영어: Gram-Schmidt process)은 내적공간에서 유한 개의 일차독립 벡터 집합을 직교정규기저로 변환하는 방법이다.

과정

그람-슈미트 과정의 시각화

내적공간 $V$의 기저 $\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots ,\mathbf {v} _{k}\}$이 주어졌다고 하자. 사영 연산자를 다음과 같이 정의한다.

$\mathrm {proj} _{\mathbf {u} }\,(\mathbf {v} )={\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }\mathbf {u}$

먼저 각 벡터 $\mathbf {v} _{i}$를 $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\cdots ,\mathbf {u} _{i-1}$와 직교적인 벡터 $\mathbf {u} _{i}$으로 만든다. 구체적으로는 다음과 같은 연산을 거친다.

$\mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}$

$\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{2})$

$\mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{3})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,(\mathbf {v} _{3})$

$\vdots$

$\mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{j}}\,(\mathbf {v} _{k})$

이렇게 생성된 $\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\cdots ,\mathbf {u} _{k}\}$ 집합은 직교적이다. 이제, 벡터 $\mathbf {e} _{i}$를

$\mathbf {e} _{i}={\frac {\mathbf {u} _{i}}{\|\mathbf {u} _{i}\|}}$

로 정의하면 $V$의 직교정규기저 $\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\cdots ,\mathbf {e} _{k}\}$를 얻는다.

역사

원래 피에르시몽 라플라스와 오귀스탱루이 코시의 논문에 등장하였다. 이후 덴마크의 예르겐 페데르센 그람(덴마크어: Jørgen Pedersen Gram)과 독일계 에스토니아 태생의 에르하르트 슈미트(독일어: Erhard Schmidt)가 명시적으로 이를 다루었으며, 이들의 이름을 땄다.

같이 보기

• QR 분해
• 이와사와 분해

바깥 고리

• “Orthogonalization”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.