단조함수

단조 증가. 강한 단조 증가는 아니다.

단조함수(單調函數, 영어: monotonic function)는 함수의 진행 방향이 항상 일정한 함수를 의미한다. 항상 증가하는 함수의 경우는 단조증가, 항상 감소하는 함수는 단조감소라고 부른다.

수학적으로 정의하면, 단조증가하는 함수는 다음의 조건을 만족한다.

$f:X\to Y$인 함수 $f$에 대해, $x_{1},x_{2}\in X,x_{1}\leq x_{2}$인 모든 $x_{1},x_{2}$에 대해 항상 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$가 성립한다.

단조감소의 경우에는 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$가 아니라 $f(x_{1})\geq f(x_{2})$가 성립한다.

또한, 강한 단조함수는 위의 정의에서 등호 조건이 빠진 것으로, 예를 들어 강한 단조증가는 다음과 같이 정의된다.

$f:X\to Y$인 함수 $f$에 대해, $x_{1},x_{2}\in X,x_{1}<x_{2}$인 모든 $x_{1},x_{2}$에 대해 항상 $f(x_{1})<f(x_{2})$가 성립한다.

일반적인 단조함수는 함수값이 증가하거나 감소하지 않는 경우($x_{1}<x_{2}$, $f(x_{1})=f(x_{2})$)가 허용되지만, 강한 단조함수는 항상 증가하거나 항상 감소한다.

미분과 단조성

미분은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다. 일반적으로, 단조성에 관한 다음과 같은 필요충분조건을 얻을 수 있다.

• 어떤 구간에서 미분가능한 함수 f가 단조증가(또는 감소)일 필요충분조건은 f'≥0(또는 f'≤0)인 것이다.

또한, 강단조성에 관해서 다음과 같은 충분조건이 성립한다.

• 어떤 구간에서 미분가능한 함수 f가 강증가(또는 감소)일 충분조건은 f'>0(또는 f'<0)인 것이다.

그러나 이 경우 역은 성립하지 않는다. 예로, f(x) = x³은 강증가 함수이지만, x = 0에서 그 미분계수는 0이기 때문이다. 한편, 연속함수가 아니거나 미분가능하지 않은 단조 함수도 있는데, 이 경우 그러한 성질을 갖는 곳은 다음 두 정리로 상당히 제한된다.

• 어떤 구간에서 단조함수의 불연속점은 많아야 가산 개 존재한다.
• (르베그 미분가능성 정리) 어떤 구간에서 단조 함수의 미분불가능점은 많아야 영측도이다.