단조함수

단조 증가. 강한 단조 증가는 아니다.

단조함수는 함수의 진행 방향이 항상 일정한 함수를 의미한다. 항상 증가하는 함수의 경우는 단조증가, 항상 감소하는 함수는 단조감소라고 부른다.

수학적으로 정의하면, 단조증가하는 함수는 다음의 조건을 만족한다.

$f:X\to Y$인 함수 $f$에 대해, $x_{1},x_{2}\in X,x_{1}\leq x_{2}$인 모든 $x_{1},x_{2}$에 대해 항상 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$가 성립한다.

단조감소의 경우에는 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$가 아니라 $f(x_{1})\geq f(x_{2})$가 성립한다.

또한, 강한 단조함수는 위의 정의에서 등호 조건이 빠진 것으로, 예를 들어 강한 단조증가는 다음과 같이 정의된다.

$f:X\to Y$인 함수 $f$에 대해, $x_{1},x_{2}\in X,x_{1}<x_{2}$인 모든 $x_{1},x_{2}$에 대해 항상 $f(x_{1})<f(x_{2})$가 성립한다.

일반적인 단조함수는 함수값이 증가하거나 감소하지 않는 경우($x_{1}<x_{2}$, $f(x_{1})=f(x_{2})$)가 허용되지만, 강한 단조함수는 항상 증가하거나 항상 감소한다.

미분과 단조성

미분은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다. 일반적으로, 단조성에 관한 다음과 같은 필요충분조건을 얻을 수 있다.

• 어떤 구간에서 미분가능한 함수 f가 단조증가(또는 감소)일 필요충분조건은 f'≥0(또는 f'≤0)인 것이다.

또한, 강단조성에 관해서 다음과 같은 충분조건이 성립한다.

• 어떤 구간에서 미분가능한 함수 f가 강증가(또는 감소)일 충분조건은 f'>0(또는 f'<0)인 것이다.

그러나 이 경우 역은 성립하지 않는다. 예로, f(x) = x³은 강증가 함수이지만, x = 0에서 그 미분계수는 0이기 때문이다. 한편, 연속함수가 아니거나 미분가능하지 않은 단조 함수도 있는데, 이 경우 그러한 성질을 갖는 곳은 다음 두 정리로 상당히 제한된다.

• 어떤 구간에서 단조함수의 불연속점은 많아야 가산 개 존재한다.
• (르베그 미분가능성 정리) 어떤 구간에서 단조 함수의 미분불가능점은 많아야 영측도이다.