នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ ឬអនុគមន៍ស៊ីក្លូមេទ្រីក គឺជាអនុគមន៍ច្រាស់ នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ។ អនុគមន៍ច្រាស់សំខាន់ៗត្រូវបានដាក់បញ្ចូលក្នុងតារាងខាងក្រោម។
ឈ្មោះ
កំនត់សំគាល់ទូទៅ
និយមន័យ
ដែនកំនត់នៃ x ចំពោះលទ្ធផលពិត
ចន្លោះនៃតំលៃគោលទូទៅ
អាកស៊ីនុស
y = arcsin(x )x = sin (y )ពី −1 ដល់ +1
−π/2 ≤ y ≤ π/2
អាកកូស៊ីនុស
y = arccos(x )x = cos (y )ពី −1 ដល់ +1
0 ≤ y ≤ π
អាកតង់សង់
y = arctan(x )x = tan (y )ទាំងអស់
−π/2 < y < π/2
អាកកូតង់សង់
y = arccot(x )x = cot (y )ទាំងអស់
0 < y < π
អាកសេកង់
y = arcsec(x )x = sec (y )ពី −∞ ដល់ −1 ឬ ពី 1 ដល់ ∞
0 ≤ y < π/2 ឬ π/2 < y ≤ π
អាកកូសេកង់
y = arccsc(x )x = csc (y )ពី −∞ ដល់ −1 ឬ ពី 1 ដល់ ∞
−π/2 ≤ y < 0 ឬ 0 < y ≤ π/2
ប្រសិនបើ x ជាចំនួនកុំផ្លិច នោះដែនកំនត់នៃ y អាចអនុវត្តបានតែចំពោះផ្នែកពិត ប៉ុណ្ណោះ។
កំនត់សំគាល់
sin
−
1
,
cos
−
1
{\displaystyle \sin ^{-1},\cos ^{-1}}
s
i
n
2
(
x
)
{\displaystyle sin^{2}(x)\,}
តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arcsin(x) និង f(x) = arccos(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arctan(x) និង f(x) = arccot(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arcsec(x) និង f(x) = arccsc(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត
<math>\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x </math>
<math>\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x </math>
<math>\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x </math> ចំពោះមុំផ្ទុយ
<math>\arcsin (-x) = - \arcsin x \!</math>
<math>\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!</math>
<math>\arctan (-x) = - \arctan x \!</math>
<math>\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!</math>
<math>\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!</math>
<math>\arccsc (-x) = - \arccsc x \!</math> ចំពោះមុំចំរាស់:
<math>\arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x </math>
<math>\arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x </math>
<math>\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \ </math> ប្រសិនបើ <math>\ x > 0</math>
<math>\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \ </math> ប្រសិនបើ <math>\ x < 0</math>
<math>\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ </math>
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
d
d
x
arccot
x
=
−
1
1
+
x
2
d
d
x
arcsec
x
=
1
x
2
1
−
1
x
2
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
x
2
1
−
1
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x^{2}\,{\sqrt {1-{1 \over {x^{2}}}}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1-{1 \over {x^{2}}}}}}}\end{aligned}}}
ចំពោះតែតំលៃនៃ
x
{\displaystyle x\,}
d
d
x
arcsec
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}}
ចំពោះដេរីវេធម្មតា៖ ប្រសិនបើ
θ
=
arcsin
x
{\displaystyle \theta =\arcsin x\!}
d
arcsin
x
d
x
=
d
θ
d
sin
θ
=
1
cos
θ
=
1
1
−
sin
2
θ
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arcsin
x
=
∫
0
x
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arccos
x
=
∫
x
1
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arctan
x
=
∫
0
x
1
z
2
+
1
d
z
,
arccot
x
=
∫
x
∞
1
z
2
+
1
d
z
,
arcsec
x
=
∫
1
x
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
arccsc
x
=
∫
x
∞
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arccot} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arcsec} x&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\end{aligned}}}
នៅពេលស្មើ 1 នោះអាំងតេក្រាលដែលមានដែនកំនត់កំនត់ ជាimproper integral ប៉ុន្តែវានៅតែអាចកំនត់បាន។
arcsin
z
=
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
arccos
z
=
π
2
−
arcsin
z
=
π
2
−
(
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
arctan
z
=
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}
arccot
z
=
π
2
−
arctan
z
=
π
2
−
(
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}
arcsec
z
=
arccos
(
z
−
1
)
=
π
2
−
(
z
−
1
+
(
1
2
)
z
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
−
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
−
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}
arccsc
z
=
arcsin
(
z
−
1
)
=
z
−
1
+
(
1
2
)
z
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
−
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
−
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
;
|
z
|
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}
Leonhard Euler បានរកឃើញស៊េរីដែលមានភាពប្រសើរជាច្រើនបន្ថែមទៀតសំរាប់អាកតង់សង់ដូចខាងក្រោម៖
arctan
x
=
x
1
+
x
2
∑
n
=
0
∞
∏
k
=
1
n
2
k
x
2
(
2
k
+
1
)
(
1
+
x
2
)
.
{\displaystyle \arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kx^{2}}{(2k+1)(1+x^{2})}}.}
(សំគាល់៖ តួក្នុងផលបូកចំពោះ n = 0 គឺផលគុណទទេ ដែលស្មើ 1)
វាអាចសំដែងដោយ៖
arctan
x
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
(
1
+
x
2
)
n
+
1
{\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{\,2n}\,(n!)^{2}}{\left(2n+1\right)!}}\;{\frac {x^{\,2n+1}}{\left(1+x^{2}\right)^{n+1}}}}
ចំពោះភាពឆ្លាស់នៃស៊េរីស្វ័យគុណសំពោះអាកតង់សង់គឺវាមានលក្ខណៈជាប្រភាគបន្តបន្ទាប់។
arctan
(
z
)
=
z
1
+
z
2
3
+
4
z
2
5
+
9
z
2
7
+
16
z
2
9
+
25
z
2
⋱
{\displaystyle \arctan(z)={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {4z^{2}}{5+{\cfrac {9z^{2}}{7+{\cfrac {16z^{2}}{9+{\cfrac {25z^{2}}{\ddots \,}}}}}}}}}}}}\,}
វាពិតនីក្នុងបំណែកប្លង់កុំផ្លិច។ មានពីរបំណែកពី −i ដល់ចំនុចដែលមានតំលៃអានន្ត។ និងមួយបំណែកទៀតពី i ដល់ចំនុចត្រង់អានន្ត។ វាដំណើរការឥតខ្ចោះនៅចន្លោះពី −១ ដល់ ១ ។
ចំពោះតំលៃពិត និងតំលៃកុំផ្លិចនៃ x
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arccot
x
d
x
=
x
arccot
x
+
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}})\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}})\right)+C\end{aligned}}}
ចំពោះតំលៃពិតនៃ x≥1 ៖
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}
អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក និងដេរីវេធម្មតា បង្ហាញដូចខាងលើe.
ដោយប្រើ
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}
u
=
arcsin
x
d
v
=
d
x
d
u
=
d
x
1
−
x
2
v
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}}
គេបាន
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
−
∫
x
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}
ដោយជំនួស
k
=
1
−
x
2
{\displaystyle k=1-x^{2}\,}
d
k
=
−
2
x
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x}
∫
x
1
−
x
2
d
x
=
−
1
2
∫
d
k
k
=
−
k
{\displaystyle \int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}}
ជំនួសត្រឡប់វិញ x គេបាន
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
{\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}}
ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកស៊ីនុស សូមប្រើ៖
arcsin
x
=
arctan
x
1
−
x
2
{\displaystyle \arcsin x=\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកកូស៊ីនុស សូមប្រើ៖
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}
ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកតង់សង់ចំពោះ x ក្បែរសូន្យ សូមប្រើវិធីសាស្រ្តគណនាអាកតង់សង់នៃប្រភាគបន្តបន្ទាប់ខាងលើ។ ដើម្បីគណនាអាកតងសង់ចំពោះតំលៃ x ផ្សេងៗទៀត សូមប្រើ៖
arctan
x
=
2
arctan
x
1
+
1
+
x
2
{\displaystyle \arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
ដើម្បីគណនាអាកកូតង់សង់ សូមប្រើ៖
arccot
x
=
π
2
−
arctan
x
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}
ដើម្បីគណនាអាកសេកង់ សូមប្រើ៖
arcsec
x
=
π
2
−
arcsin
1
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {\frac {1}{x}}}
ដើម្បីគណនាអាកកូសេកង់ សូមប្រើ៖
arccsc
x
=
arcsin
1
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x=\arcsin {\frac {1}{x}}}
អនុគមន៍ទាំងនេះអាចសំដែងជាទំរង់លោការីតដោយប្រើ លោការីតកុំផ្លិច ។ នេះជាការពន្លាតដែនកំនត់របស់អនុគមន៍ទាំងនេះទៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិច ។
arcsin
x
=
−
i
log
(
i
x
+
1
−
x
2
)
=
arccsc
1
x
arccos
x
=
−
i
log
(
x
+
x
2
−
1
)
=
π
2
+
i
log
(
i
x
+
1
−
x
2
)
=
π
2
−
arcsin
x
=
arcsec
1
x
arctan
x
=
i
2
(
log
(
1
−
i
x
)
−
log
(
1
+
i
x
)
)
=
arccot
1
x
arccot
x
=
i
2
(
log
(
1
−
i
x
)
−
log
(
1
+
i
x
)
)
=
arctan
1
x
arcsec
x
=
−
i
log
(
1
x
2
−
1
+
1
x
)
=
i
log
(
1
−
1
x
2
+
i
x
)
+
π
2
=
π
2
−
arccsc
x
=
arccos
1
x
arccsc
x
=
−
i
log
(
1
−
1
x
2
+
i
x
)
=
arcsin
1
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=-i\,\log \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{}=\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}\\\arccos x&{}=-i\,\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\log \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&{}=\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}\\\arctan x&{}={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-i\,x\right)-\log \left(1+i\,x\right)\right)&{}=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arccot} x&{}={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)&{}=\arctan {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arcsec} x&{}=-i\,\log \left({\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}+{\frac {1}{x}}\right)=i\,\log \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc} x&{}=\arccos {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arccsc} x&{}=-i\,\log \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)&{}=\arcsin {\frac {1}{x}}\end{aligned}}}
សំរាយបញ្ជាក់នៃទំនាក់ទំនងទាំងនេះ គឺធ្វើតាមរយៈពន្លាតវាក្នុងទំរង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ។
arcsin
x
=
θ
{\displaystyle \arcsin x\,=\,\theta }
e
i
θ
−
e
−
i
θ
2
i
=
x
{\displaystyle {\frac {e^{i\,\theta }-e^{-i\,\theta }}{2i}}\,=\,x}
តាង
k
=
e
i
θ
.
{\displaystyle k=e^{i\,\theta }.}
គេបាន
k
−
1
k
2
i
=
x
{\displaystyle {\frac {k-{\frac {1}{k}}}{2i}}\,=\,x}
k
2
−
2
i
k
x
−
1
=
0
{\displaystyle k^{2}-2\,i\,k\,x-1\,=\,0}
k
{\displaystyle k}
k
=
i
x
±
1
−
x
2
=
e
i
θ
{\displaystyle k\,=\,i\,x\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,=\,e^{i\,\theta }}
θ
=
arcsin
x
=
−
i
log
(
i
x
+
1
−
x
2
)
{\displaystyle \theta \,=\,\arcsin \,x\,=\,-i\log \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច '
arcsin
(
z
)
{\displaystyle \arcsin(z)\,}
arccos
(
z
)
{\displaystyle \arccos(z)\,}
arctan
(
z
)
{\displaystyle \arctan(z)\,}
arccot
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {arccot}(z)\,}
arcsec
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)\,}
arccsc
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)\,}
arctan
u
+
arctan
v
=
arctan
(
u
+
v
1
−
u
v
)
{\displaystyle \color {blue}\arctan u+\arctan v=\arctan \left({\frac {u+v}{1-uv}}\right)}
ចាប់ផ្តើមពី
tan
(
α
+
β
)
=
tan
α
+
tan
β
1
−
tan
α
tan
β
{\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}\,}
និងតាង
u
=
tan
α
,
v
=
tan
β
{\displaystyle u\,=\,\tan \,\alpha \,,\,v=\,\tan \,\beta }
ត្រីកោណកែង អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមានសារៈសំខាន់នៅពេលគេចង់រករង្វាស់មុំ ដែលនៅសល់ពីរផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណកែង ដែលគេស្គាល់រួចជាស្រេចនូវរង្វាស់ប្រវែងនៃត្រីកោណកែងនេះ។ ដោយប្រើអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់
θ
=
arcsin
(
opposite
hypotenuse
)
{\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)}
សំគាល់៖ opposite = ជ្រុងឈម, hypotenuse = អ៊ីប៉ូតេនុស និង adjacent = ជ្រុងជាប់
ជាញឹកញាប់ អ៊ីប៉ូតេនុសជារង្វាស់ជ្រុងដែលគេមិនប្រាប់ និងចាំបាច់ត្រូវរកមុនពេលប្រើប្រាស់អាក់ស៊ីនុស ឬ អាកកូស៊ីនុស។ អ្នកអាចគណនាមុំនៃត្រីកោណដោយមិនចាំបាច់ដឹងប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុសក៏បាន។
θ
=
arctan
(
opposite
adjacent
)
{\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)}
