The printable version is no longer supported and may have rendering errors. Please update your browser bookmarks and please use the default browser print function instead.
តាង
t
=
tan
(
φ
2
)
=
sin
(
φ
)
1
+
cos
(
φ
)
=
1
−
cos
(
φ
)
sin
(
φ
)
{\displaystyle t=\tan \left({\frac {\varphi }{2}}\right)={\frac {\sin(\varphi )}{1+\cos(\varphi )}}={\frac {1-\cos(\varphi )}{\sin(\varphi )}}}
នោះគេបាន
cos
(
φ
)
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
{\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}
sin
(
φ
)
=
2
t
1
+
t
2
,
{\displaystyle \sin(\varphi )={\frac {2t}{1+t^{2}}},}
sec
(
φ
)
=
1
+
t
2
1
−
t
2
,
{\displaystyle \sec(\varphi )={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},}
tan
(
φ
)
=
2
t
1
−
t
2
,
{\displaystyle \tan(\varphi )={\frac {2t}{1-t^{2}}},}
csc
(
φ
)
=
1
+
t
2
2
t
,
{\displaystyle \csc(\varphi )={\frac {1+t^{2}}{2t}},}
cot
(
φ
)
=
1
−
t
2
2
t
,
{\displaystyle \cot(\varphi )={\frac {1-t^{2}}{2t}},}
និង
e
i
φ
=
1
+
i
t
1
−
i
t
,
{\displaystyle e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},}
e
−
i
φ
=
1
−
i
t
1
+
i
t
{\displaystyle e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}}
ដោយត្រឡប់រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលចំពោះ t និងរក φ ជាអនុគមន៍នៃ t , គេបានទំនាក់ទំនងអាកតង់សង់ជាអនុគមន៍នៃលោការីតនេពែរដូចខាងក្រោម
tan
−
1
t
=
1
2
i
ln
1
+
i
t
1
−
i
t
{\displaystyle \tan ^{-1}t={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}}
តាង
t
=
tan
(
φ
2
)
{\displaystyle t=\tan \left({\frac {\varphi }{2}}\right)}
យើងបាន
d
t
=
sec
2
(
φ
2
)
d
φ
2
{\displaystyle dt=\sec ^{2}\left({\varphi \over 2}\right)\,{d\varphi \over 2}}
φ
=
2
arctan
(
t
)
{\displaystyle \varphi =2\arctan(t)}
យើងបាន
d
φ
=
2
d
t
1
+
t
2
{\displaystyle d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}}
ចំនុចមួយនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូល កំនត់ដោយ (cosh θ, sinh θ)។ ដោយធ្វើចំណោលចំនុចទៅលើអ័ក្ស y ពីចំនុចកណ្តាល (−1, 0) កំនត់ដូចតទៅ៖
t
=
tanh
(
θ
2
)
=
sinh
(
θ
)
cosh
(
θ
)
+
1
=
cosh
(
θ
)
−
1
sinh
(
θ
)
{\displaystyle t=\tanh \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sinh(\theta )}{\cosh(\theta )+1}}={\frac {\cosh(\theta )-1}{\sinh(\theta )}}}
ជាមួយនឹងសញ្ញាណ
cosh
(
θ
)
=
1
+
t
2
1
−
t
2
{\displaystyle \cosh(\theta )={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}}
sinh
(
θ
)
=
2
t
1
−
t
2
{\displaystyle \sinh(\theta )={\frac {2t}{1-t^{2}}}}
sech
(
θ
)
=
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle {\mbox{sech}}(\theta )={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
tanh
(
θ
)
=
2
t
1
+
t
2
{\displaystyle \tanh(\theta )={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
csch
(
θ
)
=
1
−
t
2
2
t
{\displaystyle {\mbox{csch}}(\theta )={\frac {1-t^{2}}{2t}}}
coth
(
θ
)
=
1
+
t
2
2
t
{\displaystyle \coth(\theta )={\frac {1+t^{2}}{2t}}}
និង
e
θ
=
1
+
t
1
−
t
{\displaystyle e^{\theta }={\frac {1+t}{1-t}}}
e
−
θ
=
1
−
t
1
+
t
{\displaystyle e^{-\theta }={\frac {1-t}{1+t}}}
រក θ ជាអនុគមន៍នៃ t នាំអោយ គេបានទំនាក់ទំនងរវាងអាកតង់សង់អ៊ីពែបូលនិងលោការីតនេពែរ៖
tanh
−
1
t
=
1
2
ln
1
+
t
1
−
t
{\displaystyle \tanh ^{-1}t={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+t}{1-t}}}
ដោយប្រៀបធៀបសញ្ញាណអ៊ីពែបូលីកទៅនឹងសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ គេសំគាល់ឃើញថាពួកវាជាប់ទាក់ទងនឹងអនុគមន៍នៃ t ដូចគ្នា។
t
=
tan
φ
2
=
tanh
θ
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {\varphi }{2}}=\tanh {\frac {\theta }{2}}}
គេបាន
φ
=
2
tan
−
1
tanh
θ
2
≡
gd
(
θ
)
{\displaystyle \varphi =2\tan ^{-1}\tanh {\frac {\theta }{2}}\equiv {\mbox{gd}}(\theta )}
អនុគមន៍
g
d
(
θ
)
{\displaystyle gd(\theta )\,}
អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ ផ្តល់ទំនាក់ទំនងផ្ទាល់រវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក តែមិនជាប់ទាក់ទងនឹងចំនួនកុំផ្លិច ទេ។
tan
(
α
+
β
2
)
=
sin
α
+
sin
β
cos
α
+
cos
β
=
−
cos
α
−
cos
β
sin
α
−
sin
β
{\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}}
ដោយកំនត់ α ឬ β អោយស្មើសូន្យ។
