ប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់ ចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់ (Line-plane intersection) អាចជាសំនុំទទេ ចំនុចមួយ ឬបន្ទាត់ មួយ ។
បន្ទាត់មួយត្រូវរៀបរាប់ដោយគ្រប់ចំនុចដែលជាទិសដៅដែលផ្តល់ ពីចំនុចមួយ ។ ដូចនេះ បន្ទាត់អាចសំដែងរាងជា
l
a
+
(
l
b
−
l
a
)
t
,
t
∈
R
{\displaystyle \mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t,\quad t\in \mathbb {R} \,}
ដែល
l
a
=
(
x
a
,
y
a
,
z
a
)
{\displaystyle \mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})}
l
b
=
(
x
b
,
y
b
,
z
b
)
{\displaystyle \mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})}
ដូចគ្នាដែរ ចំពោះប្លង់
p
0
+
(
p
1
−
p
0
)
u
+
(
p
2
−
p
0
)
v
,
u
,
v
∈
R
{\displaystyle \mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v,\quad u,v\in \mathbb {R} }
ដែល
p
k
=
(
x
k
,
y
k
,
z
k
)
{\displaystyle \mathbf {p} _{k}=(x_{k},y_{k},z_{k})}
k
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle k=0,1,2}
កូលីនេអ៊ែ (ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ) ។
ចំនុចដែលជាប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ និងប្លង់ ត្រូវគេរៀបរាប់ដោយដាក់សមីការបន្ទាត់ ស្មើនឹងសមីការប្លង់ ក្នុងទំរង់ជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត
l
a
+
(
l
b
−
l
a
)
t
=
p
0
+
(
p
1
−
p
0
)
u
+
(
p
2
−
p
0
)
v
{\displaystyle \mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t=\mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v}
វាអាចត្រូវគេសំរួលជា
l
a
−
p
0
=
(
l
a
−
l
b
)
t
+
(
p
1
−
p
0
)
u
+
(
p
2
−
p
0
)
v
{\displaystyle \mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=(\mathbf {l} _{a}-\mathbf {l} _{b})t+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v\,}
ដែលអាចដាក់ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស ជា
[
x
a
−
x
0
y
a
−
y
0
z
a
−
z
0
]
=
[
x
a
−
x
b
x
1
−
x
0
x
2
−
x
0
y
a
−
y
b
y
1
−
y
0
y
2
−
y
0
z
a
−
z
b
z
1
−
z
0
z
2
−
z
0
]
[
t
u
v
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}}
ចំនុចប្រសព្វគឺ
l
a
+
(
l
b
−
l
a
)
t
{\displaystyle \mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t}
បើបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ នោះវ៉ិចទ័រ
l
b
−
l
a
{\displaystyle \mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}}
p
1
−
p
0
{\displaystyle \mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}}
p
2
−
p
0
{\displaystyle \mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}}
ម៉ាទ្រីសទោល ។ ចំលើយនេះកើតឡើងក្នុងករណីបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ។
បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ
t
∈
[
0
,
1
]
,
{\displaystyle t\in [0,1],}
l
a
{\displaystyle \mathbf {l} _{a}}
l
b
{\displaystyle \mathbf {l} _{b}}
បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់
u
,
v
∈
[
0
,
1
]
,
(
u
+
v
)
≤
1
{\displaystyle u,v\in [0,1],\;\;\;(u+v)\leq 1\,}
នោះចំនុចប្រសព្វស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ហើយស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណ ដែលបង្កើតដោយបីចំនុច
p
0
{\displaystyle \mathbf {p} _{0}}
p
1
{\displaystyle \mathbf {p} _{1}}
p
2
{\displaystyle \mathbf {p} _{2}}
បញ្ហានេះជាទូទៅត្រូវគេដោះស្រាយដោយសំដែងវា ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស និងម៉ាទ្រីសច្រាស
[
t
u
v
]
=
[
x
a
−
x
b
x
1
−
x
0
x
2
−
x
0
y
a
−
y
b
y
1
−
y
0
y
2
−
y
0
z
a
−
z
b
z
1
−
z
0
z
2
−
z
0
]
−
1
[
x
a
−
x
0
y
a
−
y
0
z
a
−
z
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}\,}
សមីការប្លង់ អាចត្រូវគេកំនត់ដោយ
p
⋅
n
=
d
{\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {n} =d}
ដែល
p
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {p} =(x,y,z)}
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
វ៉ិទ័រណរម៉ាល់ នឹងប្លង់ ។ វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់អាចត្រូវរកឃើញដោយ
(
p
1
−
p
0
)
×
(
p
2
−
p
0
)
{\displaystyle (\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})}
d
=
p
0
⋅
n
{\displaystyle d=\mathbf {p} _{0}\cdot \mathbf {n} }
ដោយដាក់បញ្ចូលសមីការបន្ទាត់ វាអោយ
(
l
a
+
t
(
l
b
−
l
a
)
)
⋅
n
=
d
{\displaystyle (\mathbf {l} _{a}+t(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}))\cdot \mathbf {n} =d\,}
និង
t
=
−
d
−
l
a
⋅
n
(
l
b
−
l
a
)
⋅
n
{\displaystyle t={-d-\mathbf {l} _{a}\cdot \mathbf {n} \over (\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})\cdot \mathbf {n} }\,}
ក្នុងរាងជាកូអរដោនេ បើ
n
=
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}
a
x
+
b
y
+
c
z
=
d
{\displaystyle ax+by+cz=d\,}
និង
t
=
−
d
−
a
x
a
−
b
y
a
−
c
z
a
a
(
x
b
−
x
a
)
+
b
(
y
b
−
y
a
)
+
c
(
z
b
−
z
a
)
{\displaystyle t={-d-ax_{a}-by_{a}-cz_{a} \over a(x_{b}-x_{a})+b(y_{b}-y_{a})+c(z_{b}-z_{a})}\,}
បើទិសដៅនៃបន្ទាត់
(
l
b
−
l
a
)
{\displaystyle (\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})}
![{\displaystyle t\in [0,1],}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c327d1a07b1551a3ec5fc7bda0996d4ed770e462)
![{\displaystyle u,v\in [0,1],\;\;\;(u+v)\leq 1\,}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd441e49948502dd23b3f5a74ac8921dc9404f1)
