រូបមន្តញូតុន-កូត្ស

រូបមន្ត​ញូតុន-កូត្ស ឬ ក្បួនញូតុន-កូត្ស​គឺជា​​ក្រុម​រូបមន្ត​​​សំរាប់​គណនា​អាំងតេក្រាលលេខ។ រូបមន្តយកឈ្មោះតាមលោក អ៊ីសាក់ ញូតុន និង រ៉ូចឺ កូត្ស (Roger Cotes) ។

អនុគមន៍ f ស្គាល់​ត្រង់​ចំនុច​មាន​ចន្លោះ​ស្មើៗ​គ្នា $\ x_{i}$ ចំពោះ $\ i=0;1;2;\cdots ;n$ ។ រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ចំពោះដឺក្រេ n កំនត់​ដោយ

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})$

ដែល $\ x_{i}=ih+x_{0}$ ; $\ h={\frac {x_{n}-x_{0}}{n}}$ (ប្រវែងជំហាន ឬ ប្រវែងចន្លោះអង្កត់) និង $\ w_{i}$ ជាទំនង់។ ទំងន់ $\ w_{i}$ អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ទាញ​ចេញ​ពី​ពហុធាឡាហ្ក្រង់គ្រឹះ (Lagrange basis polynomials) ។ វា​អាស្រ័យតែ​នឹង $\ x_{i}$ និង​មិន​អាស្រ័យ​នឹងអនុគមន៍ $\ f$ ។ តាង​អាំងទែប៉ូឡាស្យុងឡាហ្ក្រង់​ដោយ $\ L(x)$ ចំពោះ​ចំនុច $\ (x_{0},f(x_{0})),\cdots \ (x_{n},f(x_{n}))$ នោះគេបាន

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\,dx$

$=\sum _{i=0}^{n}\int _{a}^{b}f(x_{i})l_{i}(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)dx} _{w_{i}}$

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបិទដែលមានដឺក្រេ n ត្រូវបានគេពោលថា

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}w_{i}\,f(x_{i})$

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបិទ

This table lists some of the Newton–Cotes formulas of the closed type. The notation $f_{i}$ is a shorthand for $f(x_{i})$

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបិទ

ដឺក្រេ	ឈ្មោះ	រូបមន្ត	តួអ៊ែររឺ
1	ក្បួនចតុកោណព្នាយ	${\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$
2	ក្បួនស៊ីម្ពសុន (Simpson's rule)	${\frac {h}{6}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )$
3	ក្បួនស៊ីម្ពសុន 3/8	${\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3h^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )$
4	ក្បួនបូដ	${\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )$

សំគាល់៖ $\ f_{i}$ គឺជា​ទំរង់​បំព្រួញនៃ $\ f(x_{i})$ ។

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបើក

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបើក

ដឺក្រេ	ឈ្មោះ	រូបមន្ត	តួអ៊ែររឺ
0	ក្បួនចតុកោណកែង	$2hf_{1}\,$	${\frac {h^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )$
1	គ្មានឈ្មោះ	${\frac {3h}{2}}(f_{1}+f_{2})$	${\frac {h^{3}}{4}}\,f^{(2)}(\xi )$
2	គ្មានឈ្មោះ	${\frac {4h}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {28h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )$
3	គ្មានឈ្មោះ	${\frac {5h}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {95h^{5}}{144}}f^{(4)}(\xi )$

សំរាយបញ្ជាក់​រូបមន្ត

ពហុធាឡាហ្ក្រង់ $L(x)$ នៃ f កំនត់ដោយ៖

$L(x)=v_{n}(x)\sum _{i=0}^{n}{\frac {y_{i}}{(x-x_{i})v'_{n}(x_{i})}}$

ដែល $v_{n}(x)=\prod _{j=0}^{n}(x-x_{j})$ ។

ហេតុនេះ

$w_{i}=\int _{a}^{b}{\frac {v_{n}(x)}{(x-x_{i})v'_{n}(x_{i})}}dx$

ដោយប្តូរអថេរ $y={\frac {x-a}{h}}$ គេបាន

$w_{i}={\frac {b-a}{n}}{\frac {(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!}}\int _{0}^{n}\prod _{k=0,k\neq i}^{n}(y-k)dy$

អនុវត្តន៍ចំពោះ n = ១

${\begin{matrix}w_{0}&=&h{\frac {(-1)^{1-0}}{0!(1-0)!}}\int _{0}^{1}\prod _{k=0,k\neq 0}^{1}(y-k)dy\\&=&-h\int _{0}^{1}(y-1)dy\\&=&-h\left[{\frac {(y-1)^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}\\&=&{\frac {h}{2}}\end{matrix}}$
ដូច​ខាងលើ​ដែរ​ចំពោះ $w_{1}={\frac {h}{2}}$