Module simple

Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si et seulement si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M.

Exemples

• Un espace vectoriel de dimension 1 est un module simple.
• Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.

Structure des modules simples

Soient A un anneau et M un A-module simple.

• Alors M est un A-module c'est-à-dire engendré par un élément. En effet si x est un élément non nul d'un A-module simple M, alors $\{\lambda x,\lambda \in A\}$ est un sous-module non nul de M, donc c'est M. La réciproque est encore fausse, par exemple le $\mathbb {Z}$-module $\mathbb {Z}$ est monogène (engendré par 1) et pourtant $2\mathbb {Z}$ est un sous-module non trivial de $\mathbb {Z}$.
• Soit x un élément non nul M. Alors x est un générateur de M (M = Ax) et l'ensemble des éléments a de A tels que ax = 0 est un idéal à gauche maximal I de A, et l'application a $\mapsto$ ax de A dans M est A-linéaire, et par passage au quotient, définit un isomorphisme de A-module de A/I sur M.
• Réciproquement, pour tout idéal à gauche J de A, pour que le A-module A/J soit simple, il faut et il suffit que soit un élément maximal de l'ensemble des idéaux à gauche de A différent de A.

Propriétés

• Les modules simples sont les modules de longueur 1.
• Un module simple est indécomposable, c'est-à-dire qu'il n'est pas isomorphe à une somme directe de deux modules non nuls. En revanche, la réciproque est fausse.
  • Contrairement à ce qui se passe pour des espaces vectoriels, la proposition "tout module non nul possède un sous-module simple" est fausse. En effet $\mathbb {Z}$ n'est pas simple (point précédent) et tous ses sous-modules sont isomorphes à $\mathbb {Z}$, donc non simples.

Lemme de Schur

Soient A un anneau, M et N des A-module et f une application A-linéaire de M dans N. Si M est simple, alors f est soit nulle, soit injective (en effet, le noyau de f est un sous-module de M, donc {0} ou M). Si N est simple, alors f est surjective, soit nulle (en effet, l'image de f est un sous module de N, donc {0} ou N).

L'anneau des endomorphisme d'un A-module simple est un corps, la réciproque étant fausse: le $\mathbb {Z}$-module $\mathbb {Q}$ n'est pas simple, et pourtant tout endomorphisme non nul du groupe abélien $\mathbb {Q}$ est inversible.

Soient K un corps algébriquement clos, A est une K-algèbre de dimension finie non nulle et M un A-module simple. Alors l'anneau des endomorphismes de A-module de , alors l'anneau des endomorphismes de A-module de M est canoniquement isomorphe à K.

Voir aussi

• Groupes simples : une définition analogue pour les groupes.
• Module semi-simple
• Anneau simple