Multiplication par un scalaire
En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des opérations de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale).
Notez que la multiplication par un scalaire est différente du produit scalaire qui est un produit entre vecteurs dans un espace préhilbertien ou euclidien.
Plus précisément, si est un corps commutatif et est un espace vectoriel sur , alors la multiplication par un scalaire est une application de dans .
L'image d'un couple par cette application est un vecteur de généralement noté .
La multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes:
- La multiplication par 1 ne change pas un vecteur: ;
- Distributivité à gauche: ;
- Distributivité à droite: ;
- Associativité: .
- La multiplication par 0 donne le vecteur nul:
- La multiplication par donne l'opposé:
Ici + représente ou bien l'addition du corps ou celle de l'espace vectoriel comme il convient; et 0 est l'élément neutre du corps , tandis que est le vecteur nul. La juxtaposition ou le point correspondent à la multiplication par un scalaire ou la multiplication interne du corps.
La multiplication par un scalaire peut être vue comme une loi de composition externe ou une action d'un corps commutatif sur un espace vectoriel. Une interprétation géométrique de la multiplication par un scalaire serait un étirement ou un rétrécissement d'un vecteur.
Comme cas particulier, peut être pris égal à lui-même, et la multiplication par un scalaire peut être tout simplement la multiplication du corps. Quand est égal à , alors la multiplication par un scalaire est celle définie composante par composante.
La même idée intervient sans changement lorsque est un anneau commutatif et un module sur .
peut même être un demi-anneau, mais dans ce cas il n'y a pas d'opposé.
Si n'est pas commutatif, alors le seul changement est que l'ordre dans lequel sont multipliés les éléments doit être respecté et les opérandes ne peuvent être échangées.
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Les mathématiques, du grec máthēma (μάθημα) signifiant « connaissance, science », constituent un domaine de savoir, de recherche et d'enseignement, fondé sur le raisonnement logique. Elles portent sur les nombres, les formes, les opérations et d'autres notions qui permettent entre autres de modéliser l'évolution dans le temps, les procédures, notamment en informatique, et même le hasard.
L'histoire des mathématiques s'appuie sur une pratique du calcul probablement plus ancienne que l'écriture, mais ne commence en tant que telle qu'avec l'établissement des premiers théorèmes numériques ou géométriques.
Les mathématiques irriguent toutes les disciplines scientifiques et sont utilisées en économie ou dans les innovations technologiques, mais elles ont aussi des relations avec la philosophie, les arts plastiques, la musique et même les jeux et la littérature.
Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Il est nommé d’après Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et, même si les mathématiciens grecs en connaissaient probablement une démonstration avant Euclide, auteur dans ses Éléments de la plus ancienne qui nous soit parvenue, rien ne permet de l'attribuer à Pythagore. Par ailleurs le résultat a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures.
Les premières démonstrations historiques reposent en général sur des méthodes de calcul d’aire par découpage et déplacement de figures géométriques. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème.
Divers autres énoncés généralisent le théorème à des triangles quelconques, à des figures de plus grande dimension telles que les tétraèdres, ou en géométrie non euclidienne comme à la surface d’une sphère.
- Nombre duel déployé
- Direction générale Statistique (Belgique)
- Descripteurs aléatoires
- Born in Bradford
- Groupe de Cremona
- Évolution détaillée des accidents routiers en France métropolitaine
- Sommation périodique
- Millionnaire (calculatrice)
- Nuisance variable
- Conchoïde de de Sluze
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