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En mathématiques , la multiplication par un scalaire est l'une des opérations de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale ).
Notez que la multiplication par un scalaire est différente du produit scalaire espace préhilbertien ou euclidien .
Plus précisément, si
K
{\displaystyle K}
corps et
E
{\displaystyle E}
K
{\displaystyle K}
application de
K
×
E
{\displaystyle K\times E}
E
{\displaystyle E}
L'image d'un couple
(
λ
,
v
)
{\displaystyle (\lambda ,v)}
E
{\displaystyle E}
λ
.
v
{\displaystyle \lambda .v}
La multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes:
La multiplication par 1 ne change pas un vecteur:
1.
v
=
v
{\displaystyle 1.v=v}
Distributivité à gauche:
∀
(
λ
,
μ
)
∈
K
2
,
∀
v
∈
E
,
(
λ
+
μ
)
.
v
=
λ
.
v
+
μ
.
v
{\displaystyle \forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\forall v\in E,(\lambda +\mu ).v=\lambda .v+\mu .v}
Distributivité à droite:
∀
λ
∈
K
,
∀
(
u
,
v
)
∈
E
2
,
λ
.
(
u
+
v
)
=
λ
.
u
+
λ
.
v
{\displaystyle \forall \lambda \in K,\forall (u,v)\in E^{2},\lambda .(u+v)=\lambda .u+\lambda .v}
Associativité :
∀
(
λ
,
μ
)
∈
K
2
,
∀
v
∈
E
,
(
λ
.
μ
)
.
v
=
λ
.
(
μ
.
v
)
{\displaystyle \forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\forall v\in E,(\lambda .\mu ).v=\lambda .(\mu .v)}
La multiplication par 0 donne le vecteur nul :
∀
v
∈
E
,
0.
v
=
0
E
{\displaystyle \forall v\in E,0.v=0_{E}}
La multiplication par
−
1
{\displaystyle -1}
opposé :
∀
v
∈
E
,
(
−
1
)
.
v
=
−
v
{\displaystyle \forall v\in E,(-1).v=-v}
Voir aussi
