Multiplication par un scalaire

En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des opérations de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale).

Notez que la multiplication par un scalaire est différente du produit scalaire qui est un produit entre vecteurs dans un espace préhilbertien ou euclidien.

Plus précisément, si $K$ est un corps et $E$ est un espace vectoriel sur $K$, alors la multiplication par un scalaire est une application de $K\times E$ dans $E$.

L'image d'un couple $(\lambda ,v)$ par cette application est un vecteur de $E$ généralement noté $\lambda .v$.

La multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes:

• La multiplication par 1 ne change pas un vecteur: $1.v=v$;
• Distributivité à gauche: $\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\forall v\in E,(\lambda +\mu ).v=\lambda .v+\mu .v$;
• Distributivité à droite: $\forall \lambda \in K,\forall (u,v)\in E^{2},\lambda .(u+v)=\lambda .u+\lambda .v$;
• Associativité: $\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\forall v\in E,(\lambda .\mu ).v=\lambda .(\mu .v)$.

• La multiplication par 0 donne le vecteur nul: $\forall v\in E,0.v=0_{E}$
• La multiplication par Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle -1 donne l'[[opposé]]: <math>\forall v\in E, (-1).v=-v}