Sous-groupe maximal d'un groupe
En théorie des groupes, on appelle sous-groupe maximal d'un groupe G tout élément maximal de l'ensemble des sous-groupes propres de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. (On entendra ici par « sous-groupe propre de G» un sous-groupe de G distinct de G.) Autrement dit, un sous-groupe maximal de G est un sous-groupe propre H de G tel qu'aucun sous-groupe de G ne soit strictement compris entre H et G.
Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupes propres et n'a donc pas de sous-groupes maximaux. On montre facilement que dans un groupe fini, tout sous-groupe propre est contenu dans au moins un sous-groupe maximal. (Parmi les sous-groupes propres d'un groupe fini G qui contiennent le sous-groupe propre H, en considérer un dont l'ordre est le plus grand possible.) En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe maximal. (Dans ce qui précède, faire H = 1.) Plus généralement, on prouve (à l'aide du lemme de Zorn) que dans tout groupe de type fini, tout sous-groupe propre est contenu dans au moins un sous-groupe maximal[1].
Un groupe infini peut ne pas avoir de sous-groupe maximal. C'est le cas par exemple du groupe additif des nombres rationnels[2].
L'ensemble des éléments d'un groupe G qui appartiennent à tout sous-groupe maximal de G est évidemment un sous-groupe de G. On l'appelle le sous-groupe de Frattini de G.
Si un sous-groupe maximal M d'un groupe G est normal dans G, le groupe quotient G/M est un groupe cyclique (fini) d'ordre premier[3]; dans tout groupe nilpotent, tout sous-groupe maximal est normal[4].
Un exemple d'usage de la notion de sous-groupe maximal est le théorème suivant : une opération transitive d'un groupe G sur un ensemble X d'au moins deux éléments est primitive si et seulement si, pour tout élément x de X, le stabilisateur de x est un sous-groupe maximal de G[5].
Notes et références
- ↑ Pour une démonstration, voir par exemple Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 1984, p. 163. La démonstration se déduit immédiatement du fait, facile à démontrer, que si G est un groupe de type fini et H un sous-groupe propre de G, la réunion d'un ensemble non vide, totalement ordonné par inclusion, de sous-groupes propres de G contenant H est elle-même un sous-groupe propre de G (contenant H).
- ↑ Voir par exemple Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 1984, ch. IV, exerc. 36, c), p. 174.
- ↑ Voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 117.
- ↑ Voir par exemple W.R. Scott, Group Theory, rééd. Dover, 1987, p. 143, énoncé 6.4.9.
- ↑ Pour une démonstration, voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 258.
