Module quotient

En mathématiques, un Module quotient est l'ensemble quotient d'un module donné par un de ses sous A-module.

Définition

Soient $M$ un module sur un anneau A et $N$ un A-sous module de $M$.

On définit la relation d'équivalence $R$ suivante : $\forall (x,y)\in M^{2},xRy\Leftrightarrow (x-y)\in N$

Deux éléments de $M$ sont ainsi en relation si leur différence appartient au sous module $N$, c’est-à-dire si $x$ et $y$ sont congrus modulo $N$.

L'ensemble quotient $M_{/R}$, que l'on note alors $M/N$, muni des deux opérations suivantes induites par $M$

• $(x+N)+(y+N)=x+y+N$
• $(x+N)\times (y+N)=(x\cdot y)+N$

est un module sur A, nommé A-module quotient de $M$ par $N$.

Propriétés

• C'est l'unique façon de munir le groupe abélien $M/N$ d'une structure de A-module pour que la projection canonique $\pi :M\rightarrow M/N$ soit un homomorphisme de A-module.

• Pour tout morphisme de A-module $f:M\rightarrow L$ tel que $f(N)=\{0_{L}\}$, il existe un unique morphisme de A-module ${\tilde {f}}:M/N\to L$ tel que ${\tilde {f}}\circ \pi =f$.

Exemples

• Si $N=M$, $M/M$ est le module trivial $\{0\}$.

• Si $N=\{0_{M}\}$, $M/\{0\}$ est isomorphe à $M$.

• Si $I$ est un idéal de A, alors $IM$ = $\{\sum _{j\in J}a_{j}m_{j}$ où $a_{j}\in I$, $m_{j}\in M$ et $J$ une partie de $\mathbb {N}$ $\}$ est un sous A-module de M et $M/IM$ peut être muni d'une structure de module sur $A/I$.