Module monogène
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En algèbre, un module monogène est un module qui peut être engendré par un seul élément[1]. Par exemple, un ℤ-module monogène est un groupe (abélien) monogène. Le concept est analogue à celui de groupe cyclique, c'est-à-dire un groupe qui est généré par un élément.
Définition
Un R-module gauche M est appelé cyclique si M peut être généré par un seul élément, c'est-à-dire M = (x) = Rx = {rx | r ∈ R} pour tout x dans M. De même, un R-module droit N est cyclique si N = yR pour tout y ∈ N
Exemples
- 2Z en tant que Z-module est un module cyclique.
- Tout groupe cyclique est un module Z cyclique.
- Tout R-module M simple est un module cyclique puisque le sous-module engendré par tout élément x non nul de M est nécessairement le module M entier. En général, un module est simple si et seulement s'il est non nul et est engendré par chacun de ses éléments non nuls[2].
- Si l'anneau R est considéré comme un module gauche sur lui-même, alors ses sous-modules cycliques sont exactement ses idéaux principaux gauches en tant qu'anneau. Il en va de même pour R en tant que R-module droit, mutatis mutandis.
- Si R est F[x], l'anneau des polynômes sur un corps F, et V est un R-module qui est aussi un espace vectoriel de dimension finie sur F, alors les blocs de Jordan de x agissant sur V sont des submodules cycliques. (Les blocs de Jordan sont tous isomorphes à F[x] / (x - λ)n ; il peut aussi exister d'autres sous-modules cycliques avec des annihilateurs différents.
Propriétés
- Étant donné un R-module cyclique M qui est généré par x, il existe un isomorphisme canonique entre M et R / AnnR x, où AnnR x désigne l'annihilateur de x dans R.
- Tout module est une somme de sous-modules cycliques[3].
Bibliographie
- (en) Frank W. Anderson et Kent R. Fuller, Rings and categories of modules, vol. 13, New York, Springer-Verlag, , x+376 (ISBN 0-387-97845-3, DOI 10.1007/978-1-4612-4418-9).
- (en) B. Hartley et T.O. Hawkes, Rings, modules and linear algebra, Chapman and Hall, , https://archive.org/details/ringsmodulesline00hart/page/n86 77, 152 (ISBN 0-412-09810-5, lire en ligne).
- (en)Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 147–149, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
Notes et références
- ↑ (en) Bourbaki, Algebra I: Chapters 1–3 (lire en ligne), p. 220.
- ↑ Anderson et Fuller 1992, Just after Proposition 2.7.
- ↑ Anderson et Fuller 1992, Proposition 2.7.
