Module monogène

En algèbre, un module monogène est un module qui peut être engendré par un seul élément. Par exemple, un ℤ-module monogène est un groupe (abélien) monogène. Le concept est analogue à celui de groupe cyclique, c'est-à-dire un groupe qui est généré par un élément.

Définition

Un R-module gauche M est appelé cyclique si M peut être généré par un seul élément, c'est-à-dire M = (x) = Rx = {rx | r ∈ R} pour tout x dans M. De même, un R-module droit N est cyclique si N = yR pour tout y ∈ N

Exemples

• 2Z en tant que Z-module est un module cyclique.
• Tout groupe cyclique est un module Z cyclique.
• Tout R-module M simple est un module cyclique puisque le sous-module engendré par tout élément x non nul de M est nécessairement le module M entier. En général, un module est simple si et seulement s'il est non nul et est engendré par chacun de ses éléments non nuls.
• Si l'anneau R est considéré comme un module gauche sur lui-même, alors ses sous-modules cycliques sont exactement ses idéaux principaux gauches en tant qu'anneau. Il en va de même pour R en tant que R-module droit, mutatis mutandis.
• Si R est F[x], l'anneau des polynômes sur un corps F, et V est un R-module qui est aussi un espace vectoriel de dimension finie sur F, alors les blocs de Jordan de x agissant sur V sont des submodules cycliques. (Les blocs de Jordan sont tous isomorphes à F[x] / (x - λ)n ; il peut aussi exister d'autres sous-modules cycliques avec des annihilateurs différents.

Propriétés

• Étant donné un R-module cyclique M qui est généré par x, il existe un isomorphisme canonique entre M et R / AnnR x, où AnnR x désigne l'annihilateur de x dans R.
• Tout module est une somme de sous-modules cycliques