Module d'inertie

Le module d’inertie est un élément indispensable pour le calcul de la résistance à la rupture de différents matériaux. Il dépend de la forme, de la section de ces matériaux et est complémentaire au moment quadratique.

• Le moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe ou un point.

Matériaux de forme cylindrique

Fichier:Inertie des cylindres.jpg

• Cylindre plein (fig. 9) :

Moment quadratique sur axe xx' (flexion) : $Ixx'={\frac {\pi \cdot D^{4}}{64}}$ et le Module d’inertie : ${Ixx' \over v}={\frac {\pi \cdot D^{3}}{32}}$

Moment quadratique au centre O (torsion) : $Io={\frac {\pi \cdot D^{4}}{32}}$ et le Module d’inertie : ${Io \over v}={\frac {\pi \cdot D^{3}}{16}}$

• Cylindre creux (fig. 10) :

Moment quadratique sur axe xx' (flexion): $Ixx'={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{64}}$ et le Module d’inertie (flexion): ${Ixx' \over v}={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{32\cdot D}}$

Moment quadratique au centre O (torsion): $Io={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{32}}$ et le Module d’inertie (torsion): ${Io \over v}={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{16\cdot D}}$

• Tube faible épaisseur (fig. 11):

Moment quadratique au centre O $Io={\ \pi \cdot {R^{3}}\cdot e}$

• Arbre avec rainure de clavette (fig.12) :

Moment quadratique $Io\approx 0,1\cdot {d^{4}}-{\frac {a\cdot b\cdot {d^{2}}}{4}}$

Matériaux sphériques

• Fichier:Inertie des sphères.jpg

• Sphère (fig. 16) de masse $m$ :

Moment d’inertie par rapport à l’axe $Ixx'$

$Ixx'={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot {R^{2}}$

• Sphère (fig.17) par rapport à un axe extérieur $Iyy'$

$Iyy'={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot {R^{2}}+(m\cdot {L^{2}})$

Matériaux parallélépipédiques

Fichier:Inertie des parallèlépidèdes.jpg

• Parallélépipède (fig.1) par rapport sa base $xx'$

Moment quadratique : $Ixx'={\frac {b\cdot {h^{3}}}{3}}$ et module d’inertie : ${Ixx' \over v}={\frac {2}{3}}\cdot b\cdot {h^{2}}$

• Parallélépipède (fig. 2) par rapport à l’axe $xx'$ passant par son centre :

Moment quadratique : $Ixx'={\frac {b\cdot {h^{3}}}{12}}$ et module d’inertie : ${Ixx' \over v}={\frac {b\cdot {h^{2}}}{6}}$

• Parallélépipède (fig. 3) en son centre $G$  :

Moment quadratique (torsion) : $I_{G}={\frac {b\cdot h}{12}}\cdot (b^{2}+h^{2})$

• Parallélépipède percé (fig. 4) par rapport à l’axe $xx'$ :

Module d’inertie : $>{Ixx' \over v}={\frac {b}{6h}}\cdot (h^{3}-d^{3})$

Divers matériaux profilés

Fichier:Inertie des profilés.jpg

Fichier:Inertie des profilés2.jpg

• Profilé en croix (fig. 13)  :

Moment quadratique : et module d’inertie :

• Profilé en T (fig. 14)  :

Moment quadratique : $I={\frac {(b'\cdot h^{3})+(b\cdot h'^{3})}{12}}$ et module d’inertie : ${I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})+((b'\cdot h'^{3})}{6h}}$

• Profilé en I (fig. 15)  :

Moment quadratique : $I={\frac {(b\cdot h^{3})-(2*(b'\cdot h'^{3}))}{12}}$ et module d’inertie : ${I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})-(2*(b'\cdot h'^{3})}{6h}}$

• Profilé tube carré (fig. 5)  :

Moment quadratique : $I={\frac {(b\cdot h^{3})-(b'\cdot h'^{3})}{12}}$ et module d’inertie : ${I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})-(b'\cdot h'^{3})}{6h}}$

• Profilé en U (fig. 6)  :

Moment quadratique : $I={\frac {(b\cdot h^{3})-(b'\cdot h'^{3})}{12}}$ et module d’inertie : ${I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})-((b'\cdot h'^{3})}{6h}}$

• Profilé carré plein (fig. 7)  :

Moment quadratique à l’axe $xx'$ : $Ixx'={\frac {a^{4}}{12}}$ et module d’inertie : ${Ixx' \over v}={\frac {a^{3}}{6}}$

Moment quadratique au centre $O$ (torsion) : $Io={\frac {a^{4}}{6}}$

• Profilé triangulaire (fig. 8)  :

Moment quadratique à l’axe $xx'$ : $Ixx'={\frac {b\cdot h^{3}}{36}}$

Liens internes

• Résistance à la rupture
• Moment quadratique
• Moment d'inertie
• Moment de force (mécanique)
• Moment de flexion