Cantorin joukko

Saksalaisen matemaatikon Georg Cantorin esittämä Cantorin joukko on merkittävä matematiikassa esiintyvä välillä [0,1] olevien lukujen konstruktio.

Cantorin joukko määritellän siten, että yksikköväli jaetaan kolmeen yhtäsuureen osaan ja väleistä keskimmäinen poistetaan. Sitten jäljelle jääneet välit jaetaan kolmeen yhtäsuuren osaan ja näistä keskimmäiset poistetaan. Tätä toistetaan äärettömyyksiin. Cantorin joukko koostuu jäljelle jääneistä välin [0, 1] pisteistä.

Mikä on Cantorin joukko?

Koska Cantorin joukko on määritelty väleinä jotka poistetaan konstruktiossa, Cantorin joukon mitta voidaan laskea poistettujen välien pituuksien avulla. Täm saadaan geometrisenä sarjana

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1,$

joten Cantorin joukon mitta on 1 – 1 = 0. Toisaalta, voidaan huomata, että jokaisella askeleella Cantorin pituus pienenee 2/3 osaan edellisestä pituudesta, joten Cantorin joukon pituus on äretön tulo 2/3 × 2/3 × 2/3 × ..., joka on siis 0.

Aluksi saattaa näyttää hämmentävältä, että poistoissa jää jäljelle ylipäänsä mitään, sillä poistetun välin pituus on sama kuin alkuperäisen välin. Tarkemmin katsottuna jäljelle jää kuitenkin pisteitä, sillä keskimmäinen poistettu kolmannes on avoin joukko, eli sen päätepisteitä ei poisteta. Siten poistamalla jana (1/3, 2/3) alkuperäisestä välistä [0; 1] jää jäljelle pisteet 1/3 ja 2/3. Seuraavatkaan poistot eivät poista näitä pisteita, sillä poistettu väli kuuluu aina toisen välin sisälle. Siten tiedämme varmasti, että Cantorin joukko ei ole tyhjä.