Desplazamiento angular

Rotación de un cuerpo rígido P sobre un eje fijo O.

El desplazamiento angular de un cuerpo es el ángulo (expresado en radianes, grados, revoluciones o cualquier otra unidad de medida angular) con el que se indica el giro de un elemento alrededor de un eje de rotación determinado, respecto a una orientación inicial y en un sentido específico. Cuando un cuerpo gira sobre su eje, el movimiento no puede simplemente analizarse como el de una partícula, ya que durante el movimiento circular experimenta una velocidad y aceleración cambiantes en cualquier instante (t). Cuando se trata de la rotación de un objeto, el caso más simple es considerarlo como un sólido rígido, es decir considerar que la distancia entre todas sus partículas se mantiene constante independientemente del movimiento del cuerpo. Desde un punto de vista práctico, cualquier objeto es potencialmente deformable, pero en un gran número de casos, la magnitud de estas deformaciones es despreciable. La rotación de un cuerpo rígido respecto a un eje fijo se denomina movimiento rotativo.

Ejemplo

En el ejemplo ilustrado al comienzo del artículo, una partícula P está a una distancia fija r del origen O, girando en sentido antihorario. Representando la posición de la partícula P en términos de sus coordenadas polares (r, θ), en este ejemplo particular, el valor de θ está cambiando, mientras que el valor del radio sigue siendo el mismo (obsérvese que expresando su posición en coordenadas cartesianas (x, y) tanto x como y varían con el tiempo). A medida que la partícula se mueve a lo largo de la circunferencia, recorre una longitud de arco s, que se relaciona con la posición angular a través de la relación:

s=r\theta \,

Mediciones

El desplazamiento angular mide habitualmente en radianes o en grados. El uso de radianes proporciona una relación muy simple entre la distancia recorrida alrededor del círculo y la distancia r desde el centro.

\theta ={\frac {s}{r}}

Por ejemplo, si un cuerpo gira 360° alrededor de un círculo de radio r, el desplazamiento angular viene dado por la distancia recorrida alrededor de la circunferencia, que es 2πr, dividida por el radio: $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ , lo que se simplifica fácilmente a: $\theta =2\pi$ . Por lo tanto, 1 revolución equivale a $2\pi$ radianes.

Cuando una partícula viaja del punto P al punto Q sobre $\delta t$ , como lo hace en la ilustración de la izquierda, el radio del círculo pasa por un cambio de ángulo $\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1}$ , que es igual a su desplazamiento angular.

Tres dimensiones

En tres dimensiones, el desplazamiento angular es una entidad con una dirección y una magnitud. La dirección especifica el eje de rotación, que siempre existe en virtud del teorema de rotación de Euler ; la magnitud especifica la rotación en radianes alrededor de ese eje (usando la regla de la derecha para determinar la dirección). Esta entidad se llama ángulo de eje .

A pesar de tener dirección y magnitud, el desplazamiento angular no es un vector porque no obedece la ley conmutativa para la suma. ^[1] Sin embargo, cuando se trata de rotaciones infinitesimales, se pueden descartar infinitesimales de segundo orden y, en este caso, aparece la conmutatividad.

Existen varias formas de describir el desplazamiento angular, como las matrices de rotación o los ángulos de Euler . Ver cuadros en SO (3) para otros.

Notación matricial

Dado que cualquier marco en el espacio puede describirse mediante una matriz de rotación, el desplazamiento entre ellos también puede describirse mediante una matriz de rotación. Siendo $A_{0}$ y $A_{f}$ dos matrices, la matriz de desplazamiento angular entre ellas se puede obtener como $\Delta A=A_{f}.A_{0}^{-1}$ . Cuando este producto se realiza con una diferencia muy pequeña entre ambos marcos, obtendremos una matriz cercana a la identidad.

En el límite, tendremos una matriz de rotación infinitesimal.

Matrices de rotación infinitesimal

Un desplazamiento angular infinitesimal es una matriz de rotación infinitesimal :

Como cualquier matriz de rotación tiene un único valor propio real, que es +1, este valor propio muestra el eje de rotación.
Su módulo puede deducirse del valor de la rotación infinitesimal.
La forma de la matriz es así:

A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}

Podemos presentar aquí el tensor de desplazamiento angular infinitesimal o generador de rotación asociado:

d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}

Tal que su matriz de rotación asociada es $A=I+d\Phi (t)$ . Cuando se divide por el tiempo, esto producirá el vector de velocidad angular .

Generadores de rotaciones.

Supongamos que especificamos un eje de rotación por un vector unitario [ x, y, z ] , y supongamos que tenemos una rotación infinitamente pequeña del ángulo Δθ sobre ese vector Expandiendo la matriz de rotación como una suma infinita, y tomando el enfoque de primer orden, la matriz de rotación Δ R se representa como:

\Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .

Una rotación finita a través del ángulo θ alrededor de este eje puede verse como una sucesión de pequeñas rotaciones sobre el mismo eje. Δ aproximado como θ / N donde N es un número grande, una rotación de θ alrededor del eje puede representarse como:

R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.

Se puede ver que el teorema de Euler esencialmente establece que todas las rotaciones pueden representarse de esta forma. El producto $\mathbf {A} \theta$ es el "generador" de la rotación particular, siendo el vector ( x, y, z ) asociado con la matriz A. Esto muestra que la matriz de rotación y el formato de eje-ángulo están relacionados por la función exponencial.

Se puede derivar una expresión simple para el generador G. Se comienza con un plano arbitrario ^[2] definido por un par de vectores unitarios perpendiculares ay b. En este plano se puede elegir un vector arbitrario x con y perpendicular. Luego se resuelve y en términos de x y sustituyendo en una expresión una rotación en un plano se obtiene la matriz de rotación R que incluye el generador G = ba ^T - ab ^T.

{\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{T}x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{T}x\\y&=-ab^{T}x+ba^{T}x=\left(ba^{T}-ab^{T}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{T}-ab^{T}\\\end{aligned}}

Para incluir vectores fuera del plano en la rotación, uno necesita modificar la expresión anterior para R incluyendo dos operadores de proyección que dividen el espacio. Esta matriz de rotación modificada puede reescribirse como una función exponencial .

{\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}

El análisis es a menudo más fácil en términos de estos generadores, en lugar de la matriz de rotación completa. El análisis en términos de los generadores se conoce como el álgebra de Lie del grupo de rotación.

Relación con álgebras de mentiras

Las matrices en el álgebra de Lie no son rotaciones en sí mismas; Las matrices asimétricas asimétricas son derivadas, diferencias proporcionales de rotaciones. Una "rotación diferencial" real o matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

I+A\,d\theta ~,

donde $dθ$ es extremadamente pequeño y $A \in so (n)$ , por ejemplo con $A = L x$ ,

dL_{x}=\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{smallmatrix}}\right].

Las reglas de cálculo son las habituales, excepto que los infinitesimales de segundo orden se eliminan rutinariamente. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de infinitesimales. ^[3] Resulta que el orden en que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante . Para ver esto ejemplificado, consulte las rotaciones infinitesimales SO (3) .

Mapa exponencial

La conexión del álgebra de Lie al grupo de Lie es el mapa exponencial, que se define utilizando la serie exponencial de matriz estándar para $e A$ ^[4] Para cualquier matriz asimétrica asimétrica $A$ , exp ( $A$ ) es siempre una matriz de rotación. ^{[nb 1]}

Un ejemplo práctico importante es el caso $3 \times 3$ . En el grupo de rotación SO (3), se muestra que se puede identificar cada $A \in so (3)$ con un vector de Euler $ω = θ u$ , donde $u = (x, y, z)$ es un vector de magnitud unitaria.

Por las propiedades de la identificación $su (2) ≅ ℝ 3$ , $u$ está en el espacio nulo de $A$ Por lo tanto, $u$ queda invariante por $exp(A)$ y, por lo tanto, es un eje de rotación.

Uso de fórmula rotación Rodrigues' en forma de matriz con $θ = θ ⁄ 2 + θ ⁄ 2$ junto con estándar fórmulas doble ángulo se obtiene,

{\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}

donde $c = cos θ ⁄ 2$ $s = sin θ ⁄ 2$

Esta es la matriz para una rotación alrededor del eje $u$ por el ángulo $θ$ en forma de medio ángulo. Para detalles completos, vea el mapa exponencial SO (3) .

Tenga en cuenta que para ángulos infinitesimales los términos de segundo orden pueden ignorarse y permanecer exp (A) = I + A

Véase también

Referencias

↑ Note that this exponential map of skew-symmetric matrices to rotation matrices is quite different from the Cayley transform discussed earlier, differing to 3rd order, $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.$

Conversely, a skew-symmetric matrix $A$ specifying a rotation matrix through the Cayley map specifies the same rotation matrix through the map $exp(2arctanh A)$ .

↑ Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 288-89.
↑ in Euclidean space
↑ (Goldstein, Poole y Safko, 2002, §4.8)
↑ (Wedderburn, 1934)

[5] Note that this exponential map of skew-symmetric matrices to rotation matrices is quite different from the Cayley transform discussed earlier, differing to 3rd order, $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.$

Conversely, a skew-symmetric matrix $A$ specifying a rotation matrix through the Cayley map specifies the same rotation matrix through the map $exp(2arctanh A)$ .

[1] Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 288-89.

[2] Euclidean space

[3] (Goldstein, Poole y Safko, 2002, §4.8)

[4] (Wedderburn, 1934)

[1]

[2]

[3]

[4]

[nb 1]