User:Transconvolution/sandbox

'Transconvolution designates a numerical method used in medical imaging, in particular emission computed tomography. Transconvolutionenables enables a subsequent manipulation of the Point spread function (PSF) in already recorded images.

Properties of an image such as the spatial resolution or the appearance of small objects are determined by the PSF of the imaging system used for image acquisition. Different imaging systems with different PSFs therefore provide slightly different images of one and the same object.

Starting from known PSFs of different tomographic systems, the transconvolution method allows an image recorded on a particular tomograph to be converted as if it had been acquired by another tomograph. The method can thus ensure the comparability of images that were originally recorded on different systems.

Definition

Given two different tomographs with different point spread functions $psf_{1}$ and $psf_{2}$ the imaging process can be defined as convolution

$obj*psf_{1}=img_{1}$

$obj*psf_{2}=img_{2}$

with "$*$" representing the convolution operator and $img_{1}$ and $img_{2}$ representing the two slightly different images of the same object $obj$ as seen by the respective tomographs.

Aus den beiden Gleichungen folgt unmittelbar die Beziehung:

$img_{1}*psf_{1}^{-1}*psf_{2}=img_{2}$

wobei $psf_{1}^{-1}$ für die Inverse der Punktspreizfunktion $psf_{1}$ steht.

Während die inverse Punktspreizfunktion $psf_{1}^{-1}$ divergiert und nicht numerisch bestimmt werden kann, ist der vollständige Term $psf_{1}^{-1}*psf_{2}$ unter bestimmten Randbedingungen durch numerische Methoden näherungsweise berechenbar.

Die Transconvolution-Funktion $tf$ wird nun definiert als

$tf=psf_{1}^{-1}*psf_{2}$

mit der resultierenden Beziehung

$img_{1}*tf=img_{2}$

In Kenntnis der PSFs der jeweiligen Tomographen ist es somit möglich ein durch den ersten Tomographen erzeugtes Bild $img_{1}$ jeweils so umzurechnen als wäre es als $img_{2}$ durch den zweiten Tomographen aufgenommen worden. Selbstverständlich unterliegt das Verfahren bestimmten Grenzen, insbesondere kann das berechnete $img_{2}$ keine Raumfrequenzen darstellen, die durch die $psf_{1}$ nicht mehr erfasst werden, i. e. die räumliche Auflösung eines Bildes kann nicht beliebig erhöht werden.

Anwendung in der medizinischen Bildgebung

Die zweite Punktspreizfunktion $psf_{2}$ muss nicht einen realen Tomographen repräsentieren, sondern kann direkt definiert werden und repräsentiert dann einen virtuellen Tomographen mit entsprechenden Eigenschaften. Ausgehend von der Definition eines standardisierten virtuellen Tomographen sowie der Bestimmung der Abbildungseigenschaften unterschiedlicher realer Tomographen erlaubt die Transconvolution-Methode eine einheitliche und quantitativ vergleichbare Darstellung der von den unterschiedlichen Tomographen oder Systemen aufgenommen Bilddaten so, als wären alle Messungen gleichermaßen durch das standardisierte virtuelle System erfolgt. Das Verfahren unterstützt damit quantitative Vergleiche von Bildern, die durch unterschiedliche bildgebende Systeme und insbesondere durch unterschiedliche klinische Tomographen, aufgenommen wurden.

Literatur

• T. Weitzel, F. Corminboeuf, B. Klaeser, T Krause: Kreuzkalibrierung von Positronen-Emissions-Tomographen für multizentrische Studien: Festkörper-Phantom und Transconvolution. In: Bulletin der Schweizerische Gesellschaft für Strahlenbiologie und Medizinische Physik. Oct. 2010, S. 9ff. SGSMP-Bulletin 72
• T. Weitzel, F. Corminboeuf, B. Klaeser, T. Krause, T Beyer: Transconvolution and virtual PET: A new concept for quantification of PET in multi-center trials. In: Journal of Nuclear Medicine. 51, 2010, S. 115.
• G. A. Prenosil, T. Weitzel, M. Hentschel, B. Klaeser, T Krause: Transconvolution and the virtual positron emission tomograph - A new method for cross calibration in quantitative PET/CT imaging. In: Medical Physics. 40, Juni 2013, S. 062503.

Weblinks

• G. A. Prenosil, T. Weitzel, M. Hentschel, B. Klaeser, T. Krause: Transconvolution and the virtual positron emission tomograph–a new method for cross calibration in quantitative PET∕CT imaging. In: Medical physics. Band 40, Nummer 6, Juni 2013, S. 062503, doi:10.1118/1.4805112, PMID 23718608.
• Patent Publikation WO2011123964 (Google Patents)