Mutual recursion

In mathematics and computer science, mutual recursion is a form of recursion where two mathematical or computational objects, such as functions or data types, are defined in terms of each other. Mutual recursion is very common in functional programming and in some problem domains, such as recursive descent parsers, where the data types are naturally mutually recursive.

Examples

Tipos de datos:

El ejemplo más importante de un tipo de dato que se puede definir con una recursión mutua es un árbol, el cual puede ser definido mutua y recursivamente en términos de un conjunto de árboles. Simbólicamente:

f: [t[1], ..., t[k]]
t: v f

Un bosque f consiste en una lista de árboles, mientras un árbol t consiste en un par de valores v y un sub-árbol f. Esta definición es ordenada y fácil para trabajar abstractamente (como cuando se prueban teoremas sobre las propiedades de los árboles), tal como se expresa un árbol en términos simples: una lista de un tipo y un par de dos tipos. Además, une muchos algoritmos de árboles, que consisten en hacer una operación con el valor, y otra cosa con los sub-árboles. Esta definición mutuamente recursiva se puede convertir a una definición recursiva individual al delimitar la definición de conjunto de árboles:

t: v [t[1], ..., t[k]]

Un árbol t consiste en un par de un valor v y una lista de árboles (sus hijos). Esta definición es más compacta, pero algo más desordenada: un árbol consiste en un par de un tipo y una lista de otro, que requieren desenmarañarse para probar los resultados. En Standar ML, los tipos de datos de árbol y bosque se pueden definir mutual y recursivamente de la siguiente manera, lo que permite árboles vacíos:

datatype 'a tree = Empty | Node of 'a * 'a forest
and      'a forest = Nil | Cons of 'a tree * 'a forest 

Computer functions

Del mismo modo que los algoritmos en los tipos de datos recursivos pueden ser dados naturalmente por funciones recursivas, los algoritmos en las estructuras de datos mutuamente recursivas pueden ser dados naturalmente por funciones mutuamente recursivas. Los ejemplos comunes incluyen algoritmos en árboles y analizadores de descenso recursivos. Al igual que con la recursión directa, la optimización de la cola de cola es necesaria si la profundidad de recursión es grande o ilimitada, como el uso de la recursión mutua para la multitarea. Tenga en cuenta que la optimización de llamadas finales en general (cuando la función llamada no es la misma que la función original, como en las llamadas recursivas de cola) puede ser más difícil de implementar que el caso especial de optimización de llamadas recursiva de cola, y por lo tanto una implementación eficiente de La recursión de cola mutua puede estar ausente de los lenguajes que solo optimizan las llamadas recursivas de cola. En idiomas como Pascal que requieren declaración antes del uso, las funciones mutuamente recursivas requieren la declaración directa, ya que una referencia directa no se puede evitar al definirlas.

Al igual que con las funciones recursivas directas, una función contenedora puede ser útil, con las funciones mutuamente recursivas definidas como funciones anidadas dentro de su alcance si esto es compatible. Esto es particularmente útil para compartir estados a través de un conjunto de funciones sin tener que pasar parámetros entre ellos.

Ejemplos básicos

Un ejemplo estándar de recursión mutua, el cual es ciertamente artificial, Determinar si un número no negativo es par o impar por definición dos funciones separadas que se llaman una a la otra, disminuyendo cada vez.

bool is_even(unsigned int n) {

   if (n == 0)
       return true;
   else
       return is_odd(n - 1);

}

bool is_odd(unsigned int n) {

   if (n == 0)
       return false;
   else
       return is_even(n - 1);

} ¿Esas funciones son basadas en la observación de la pregunta 4 es par? Lo cual es equivalente a ¿3 es impar? El cual a su vez equivale a preguntarnos si ¿2 es par?, y así sucesivamente hasta llegar a cero. Este ejemplo es una solo una mutual recursión, y podría ser fácilmente por interacción. En este ejemplo, la llamada mutuamente recursiva son colas de llamadas, las cuales para optimizarlas sería necesario ejecutar un espacio de pilas constante. In C, esto tomaría O(n) de espacio de pilas, a menos que se reescriba la función usando saltos en vez de llamados. Esto podría se reducido por solo una función recursiva is_even. En ese caso, is_odd,el cual podría ser alineado, llamaría is_even, pero is_even solo se llamaría a sí misma. Una clase de ejemplo más general, un algoritmo de un árbol puede ser descompuesto dentro de su comportamiento en un valor y el comportamiento de los sub-arboles(children), y puede ser dividido dentro de dos funciones mutuamente recursivas. Una especificando el comportamiento en un árbol, llamando a la función forest para el conjunto de sub-arboles, y otra especificando el comportamiento de un conjunto de árboles, llamando a la función tree para el árbol del conjunto de árboles. En Python:

def f_tree(tree):

    f_value(tree.value)
    f_forest(tree.children)

def f_forest(forest):
    for tree in forest:
        f_tree(tree)

En este caso la función tree llama a la función forest por solo una recursión, mientras que la función forest llama a la función tree por recursión múltiple.

Usando el tipo de datos Standard ML en el ejemplo anterior, el tamaño de un árbol (número de nodos) puede ser calculada por medio de las siguientes funciones recursivas:

fun size_tree Empty = 0

 | size_tree (Node (_, f)) = 1 + size_forest f

and size_forest Nil = 0

 | size_forest (Cons (t, f')) = size_tree t + size_forest f'

Un ejemplo mas detallado en Scheme, contando lo dejado de una árbol:

(define (count-leaves tree)

 (if (leaf? tree)
     1
     (count-leaves-in-forest (children tree))))

(define (count-leaves-in-forest forest)

 (if (null? forest)
     0
     (+ (count-leaves (car forest))
        (count-leaves-in-forest (cdr forest)))))

Estos ejemplos reducen fácilmente a una sola función recursiva mediante la adjunción de la función forest en la función tree, el cual es comúnmente puesto en práctica: las funciones directamente recursivas que operan en procesos secuenciales de árboles el valor del nodo y recursión en los sub-arboles dentro de una función en lugar de dividirlas dentro de dos funciones separadas.

Ejemplos avanzados

Un ejemplo más complicado es dado por un analizador descendente recursivo, el cual puede ser naturalmente implementado por una función por cada regla de producción de una gramática; eso en general será una recursión múltiple, como las reglas de producción generalmente combina múltiples partes. Eso puede ser hecho sin recursión múltiple, por ejemplo, aun teniendo aun teniendo funciones separadas para cada regla de producción, pero teniéndolos llamados por una sola función controladora, o poniendo toda la gramática en una sola función.

Recursión mutua puede También implementar una maquina finita de estado, con una función por cada estado, y solo una recursión en cada cambio de estado; eso requiere colas de llamados de optimización, si el número de estados es largo o abundante. Eso puede ser usado como una simple cooperación de multitareas. Un enfoque similar de multitareas es por ejemplo usar cortinas, el cual llama a cada otro, donde en lugar de llamar a otra rutina cede a otro, pero no lo termina, y luego pasara a la ejecución cuando es cedido de regreso. Eso permite cortinas individuales para mantener el estado, sin su necesidad de pasar por otros parámetros en variables compartidas. Existen algunos algoritmos los cuales naturalmente tienes dos fases, como MIN MAX (min y máx.), y esos pueden ser implementados teniendo cada fase en una función separadas con recursión mutua, a pesar de que ellos pueden También ser combinados dentro de una sola función con recursión directa.

Funciones matemáticas

En matemáticas, las secuencias Hofstadter Female and Male sequences son un ejemplo de un par de secuencias de enteros definidas de una forma mutuamente recursiva. Los fractales pueden ser computarizados mediante funciones recursivas: Esto, en algunos casos, puede resultar más ordenado usando funciones mutuamente recursivas; la Sierpiński curve es un ejemplo.

Prevalencia

La recursión mutua es muy común en el ámbito de programación funcional y es regularmente usado en programas desarrollados in LISP, Scheme, ML y lenguajes similares. En lenguajes como Prolog, el uso de la recursión mutua es casi inevitable. Algunos estilos de programación no incentivan el uso de la recursión mutua, aludiendo a que podría resultar confuso distinguir entre las condiciones en las cuales el programa retorna un resultado de las cuales generarían que el programa nunca termine su ejecución y no genere un resultado. Peter Norving señala a un patrón de diseño que desalienta su uso por completo, indicando: Si tienes dos funciones mutuamente recursivas que alteran el estado de un objeto, intenta establecer todas las instrucciones en solo una de las funciones. De otro modo probablemente termines duplicando tu código.

Terminología

La recursión mutua es también conocida como recursión indirecta, en contraste con la recursión directa donde una función se llama a sí misma directamente. Esto solo es una diferencia de énfasis, no diferentes nociones: la recursión indirecta se refiere a una sola función, mientras la recursión mutua se refiere a un conjunto de funciones y no a una función individual. Por ejemplo, si f se llama a sí misma, eso es la recursión directa. En cambio, si f llama a g y luego g llama a f, que vuelve a llamar a g, desde el punto de la función f, f es indirectamente recursiva, desde el punto de g, esta también es indirectamente recursiva, mientras que desde el punto de f y g, son mutualmente recursivas una en la otra. Análogamente en un conjunto de tres o más funciones que se llaman una a la otra pueden ser denominadas un conjunto de funciones mutualmente recursivas.

Prevalence

Mutual recursion is very common in the functional programming style, and is often used for programs written in LISP, Scheme, ML, and similar languages. In languages such as Prolog, mutual recursion is almost unavoidable.

Some programming styles discourage mutual recursion, claiming that it can be confusing to distinguish the conditions which will return an answer from the conditions that would allow the code to run forever without producing an answer. Peter Norvig points to a design pattern which discourages the use entirely, stating:

If you have two mutually-recursive functions that both alter the state of an object, try to move almost all the functionality into just one of the functions. Otherwise you will probably end up duplicating code.

Terminology

Mutual recursion is also known as indirect recursion, by contrast with direct recursion, where a single function calls itself directly. This is simply a difference of emphasis, not a different notion: "indirect recursion" emphasises an individual function, while "mutual recursion" emphasises the set of functions, and does not single out an individual function. For example, if f calls itself, that is direct recursion. If instead f calls g and then g calls f, which in turn calls g again, from the point of view of f alone, f is indirectly recursing, while from the point of view of g alone, g is indirectly recursing, while from the point of view of both, f and g are mutually recursing on each other. Similarly a set of three or more functions that call each other can be called a set of mutually recursive functions.

Conversion to direct recursion

Mathematically, a set of mutually recursive functions are primitive recursive, which can be proven by course-of-values recursion, building a single function F that lists the values of the individual recursive function in order: $F=f_{1}(0),f_{2}(0),f_{1}(1),f_{2}(1),\dots ,$ and rewriting the mutual recursion as a primitive recursion.

Any mutual recursion between two procedures can be converted to direct recursion by inlining the code of one procedure into the other. If there is only one site where one procedure calls the other, this is straightforward, though if there are several it can involve code duplication. In terms of the call stack, two mutually recursive procedures yield a stack ABABAB..., and inlining B into A yields the direct recursion (AB)(AB)(AB)...

Alternately, any number of procedures can be merged into a single procedure that takes as argument a variant record (or algebraic data type) representing the selection of a procedure and its arguments; the merged procedure then dispatches on its argument to execute the corresponding code and uses direct recursion to call self as appropriate. This can be seen as a limited application of defunctionalization. This translation may be useful when any of the mutually recursive procedures can be called by outside code, so there is no obvious case for inlining one procedure into the other. Such code then needs to be modified so that procedure calls are performed by bundling arguments into a variant record as described; alternately, wrapper procedures may be used for this task.

See also

• Recursion (computer science)
• Circular dependency

References

• Harper, Robert (2000), Programming in Standard ML
• Harvey, Brian; Wright, Matthew (1999). Simply Scheme: Introducing Computer Science. MIT Press. ISBN 978-0-26208281-5. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
• Hutton, Graham (2007). Programming in Haskell. Cambridge University Press. ISBN 978-0-52169269-4. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)

External links

• Mutual recursion at Rosetta Code
• "Example demonstrating good use of mutual recursion", "Are there any example of Mutual recursion?", Stack Overflow