Elias delta coding

Elias delta code is a universal code encoding the positive integers developed by Peter Elias.^[1]^: 200

Encoding

To code a number X≥1:

Let N=⌊log₂ X⌋ be the highest power of 2 in X, so 2^N ≤ X < 2^N+1.
Let L=⌊log₂ N+1⌋ be the highest power of 2 in N+1, so 2^L ≤ N+1 < 2^L+1.
Write L zeros, followed by
the L+1-bit binary representation of N+1, followed by
all but the leading bit (i.e. the last N bits) of X.

An equivalent way to express the same process:

Separate X into the highest power of 2 it contains (2^N) and the remaining N binary digits.
Encode N+1 with Elias gamma coding.
Append the remaining N binary digits to this representation of N+1.

To represent a number $x$ , Elias delta uses $\lfloor \log _{2}(x)\rfloor +2\lfloor \log _{2}(\lfloor \log _{2}(x)\rfloor +1)\rfloor +1$ bits.^[1]^: 200

The code begins, using $\gamma '$ instead of $\gamma$ :

Number	N	N+1	Encoding	Implied probability
1 = 2⁰	0	1	`1`	1/2

2 = 2¹ + 0	1	2	`0 1 0 0`	1/16
3 = 2¹ + 1	1	2	`0 1 0 1`	1/16

4 = 2² + 0	2	3	`0 1 1 00`	1/32
5 = 2² + 1	2	3	`0 1 1 01`	1/32
6 = 2² + 2	2	3	`0 1 1 10`	1/32
7 = 2² + 3	2	3	`0 1 1 11`	1/32

8 = 2³ + 0	3	4	`00 1 00 000`	1/256
9 = 2³ + 1	3	4	`00 1 00 001`	1/256
10 = 2³ + 2	3	4	`00 1 00 010`	1/256
11 = 2³ + 3	3	4	`00 1 00 011`	1/256
12 = 2³ + 4	3	4	`00 1 00 100`	1/256
13 = 2³ + 5	3	4	`00 1 00 101`	1/256
14 = 2³ + 6	3	4	`00 1 00 110`	1/256
15 = 2³ + 7	3	4	`00 1 00 111`	1/256

16 = 2⁴ + 0	4	5	`00 1 01 0000`	1/512
17 = 2⁴ + 1	4	5	`00 1 01 0001`	1/512

To decode an Elias delta-coded integer:

Read and count zeros from the stream until you reach the first one. Call this count of zeros L.
Considering the one that was reached to be the first digit of an integer, with a value of 2^L, read the remaining L digits of the integer. Call this integer N+1, and subtract one to get N.
Put a one in the first place of our final output, representing the value 2^N.
Read and append the following N digits.

Example:

001010011
1. 2 leading zeros in 001
2. read 2 more bits i.e. 00101
3. decode N+1 = 00101 = 5
4. get N = 5 − 1 = 4 remaining bits for the complete code i.e. '0011'
5. encoded number = 2⁴ + 3 = 19

This code can be generalized to zero or negative integers in the same ways described in Elias gamma coding.

Example code

Encoding

void eliasDeltaEncode(char* source, char* dest)
{
    IntReader intreader(source);
    BitWriter bitwriter(dest);
    while (intreader.hasLeft())
    {
        int num = intreader.getInt();
        int len = 0;
        int lengthOfLen = 0;
        for (int temp = num; temp > 0; temp >>= 1)  // calculate 1+floor(log2(num))
            len++;
        for (int temp = len; temp > 1; temp >>= 1)  // calculate floor(log2(len))
            lengthOfLen++;
        for (int i = lengthOfLen; i > 0; --i)
            bitwriter.outputBit(0);
        for (int i = lengthOfLen; i >= 0; --i)
            bitwriter.outputBit((len >> i) & 1);
        for (int i = len-2; i >= 0; i--)
            bitwriter.outputBit((num >> i) & 1);
    }
    bitwriter.close();
    intreader.close();
}

REDIRECT Target page nameresultaten

Wetsartikelen: 72 Jurisprudentie: 0 Professionals: 0 Wetten BURGERLIJK WETBOEK BOEK 1 ART.:302 303 BURGERLIJK WETBOEK BOEK 2 ART.:303 BURGERLIJK WETBOEK BOEK 3 ART.:303 BURGERLIJK WETBOEK BOEK 7 ART.:303 304 305 BURGERLIJK WETBOEK BOEK 8 ART.:790 FAILLISSEMENTSWET ART.:303 358 359 GEMEENTEWET ART.:303 RIJKSWET HOUDENDE MACHTIGING TOT DEELNEMING DOOR HET... ART.:1 RIJKSWET HOUDENDE MACHTIGING TOT VERHOGING VAN DE ... ART.:1 RIJKSWET MACHTIGING TOT DEELNEMING DOOR HET KONINKRIJK... ART.:1 UITVOERINGSWET EUROPEES VERDRAG INZAKE RECHTSPOSITIE... ART.:2 VERZAMELWET SOCIALE VERZEKERINGEN 2007 ART.:XIII WEGENVERKEERSWET 1994 ART.:179a WET ADMINISTRATIEFRECHTELIJKE HANDHAVING VERKEERSVOORSCHRIFT... ART.:44 WETBOEK VAN MILITAIR STRAFRECHT ART.:141 WETBOEK VAN STRAFRECHT ART.:303 304 304a 304b 305 43b 5 WETBOEK VAN STRAFVORDERING ART.:303 WET DUALISERING GEMEENTEBESTUUR ART.:VI WET OP DE ARBEIDSONGESCHIKTHEIDSVERZEKERING ART.:10 WET OP DE OMZETBELASTING 1968 ART.:55 WET OP HET HOGER ONDERWIJS EN WETENSCHAPPELIJK ONDERZOEK ART.:18.28 18.29 18.30 WET OVERDRACHT TAKEN OGB ART.:III WET PRIVATISERING ABP ART.:8 WET PRIVATISERING SPOORWEGPENSIOENFONDS ART.:6 WET RUIMTELIJKE ORDENING ART.:8.3 WET TARIEVEN IN BURGERLIJKE ZAKEN ART.:2 WET VERHOGING UITKERINGSHOOGTE ARBEIDSONGESCHIKTHEIDSWETTEN ART.:V WET WERK EN INKOMEN NAAR ARBEIDSVERMOGEN ART.:123 ZIEKTEWET ART.:11

0 - 5 van de 72 zoekresultaten algemene Wet Bijzondere Ziektekosten | artikel 16a wet / artikel

Burgerlijk Wetboek Boek 8 | artikel 790 wet / artikel

Wetboek van Burgerlijke Rechtsvordering | artikel 790 wet / artikel

[Vervallen per 01-01-2002] Wetboek van Koophandel | artikel 790 wet / artikel

[Vervallen per 01-04-1991] Burgerlijk Wetboek Boek 8 | artikel 790 wet / artikel

Een in de openbare registers teboekstaand binnenschip is een registergoed.

meer resultaten

Decoding

void eliasDeltaDecode(char* source, char* dest)
{
    BitReader bitreader(source);
    IntWriter intwriter(dest);
    while (bitreader.hasLeft())
    {
        int num = 1;resultaten
Wetsartikelen: 72 Jurisprudentie: 0 Professionals: 0
Wetten
BURGERLIJK WETBOEK BOEK 1
ART.:302  303 
BURGERLIJK WETBOEK BOEK 2
ART.:303 
BURGERLIJK WETBOEK BOEK 3
ART.:303 
BURGERLIJK WETBOEK BOEK 7
ART.:303  304  305 
BURGERLIJK WETBOEK BOEK 8
ART.:790 
FAILLISSEMENTSWET
ART.:303  358  359 
GEMEENTEWET
ART.:303 
RIJKSWET HOUDENDE MACHTIGING TOT DEELNEMING DOOR HET...
ART.:1 
RIJKSWET HOUDENDE MACHTIGING TOT VERHOGING VAN DE ...
ART.:1 
RIJKSWET MACHTIGING TOT DEELNEMING DOOR HET KONINKRIJK...
ART.:1 
UITVOERINGSWET EUROPEES VERDRAG INZAKE RECHTSPOSITIE...
ART.:2 
VERZAMELWET SOCIALE VERZEKERINGEN 2007
ART.:XIII 
WEGENVERKEERSWET 1994
ART.:179a 
WET ADMINISTRATIEFRECHTELIJKE HANDHAVING VERKEERSVOORSCHRIFT...
ART.:44 
WETBOEK VAN MILITAIR STRAFRECHT
ART.:141 
WETBOEK VAN STRAFRECHT
ART.:303  304  304a  304b  305  43b  5 
WETBOEK VAN STRAFVORDERING
ART.:303 
WET DUALISERING GEMEENTEBESTUUR
ART.:VI 
WET OP DE ARBEIDSONGESCHIKTHEIDSVERZEKERING
ART.:10 
WET OP DE OMZETBELASTING 1968
ART.:55 
WET OP HET HOGER ONDERWIJS EN WETENSCHAPPELIJK ONDERZOEK
ART.:18.28  18.29  18.30 
WET OVERDRACHT TAKEN OGB
ART.:III 
WET PRIVATISERING ABP
ART.:8 
WET PRIVATISERING SPOORWEGPENSIOENFONDS
ART.:6 
WET RUIMTELIJKE ORDENING
ART.:8.3 
WET TARIEVEN IN BURGERLIJKE ZAKEN
ART.:2 
WET VERHOGING UITKERINGSHOOGTE ARBEIDSONGESCHIKTHEIDSWETTEN
ART.:V 
WET WERK EN INKOMEN NAAR ARBEIDSVERMOGEN
ART.:123 
ZIEKTEWET
ART.:11 

0 - 5 van de 72 zoekresultaten 
algemene Wet Bijzondere Ziektekosten | artikel 16a wet / artikel

Burgerlijk Wetboek Boek 8 | artikel 790 wet / artikel

Wetboek van Burgerlijke Rechtsvordering | artikel 790 wet / artikel

[Vervallen per 01-01-2002]
Wetboek van Koophandel | artikel 790 wet / artikel

[Vervallen per 01-04-1991]
Burgerlijk Wetboek Boek 8 | artikel 790 wet / artikel

Een in de openbare registers teboekstaand binnenschip is een registergoed.
 
meer resultaten


        int len = 1;
        int lengthOfLen = 0;
        while (!bitreader.inputBit())     // potentially dangerous with malformed files.
            lengthOfLen++;u
        for (int i = 0; i < lengthOfLen; i++)
        {
            len <<= 1;
            if (bitreader.inputBit())
                len |= 1;
        }[http://www.wetboek%20online%20com www.wetboek online com]<ref><ref>resultaten Wetsartikelen: 72 Jurisprudentie: 0 Professionals: 0 Wetten BURGERLIJK WETBOEK BOEK 1 ART.:302  303  BURGERLIJK WETBOEK BOEK 2 ART.:303  BURGERLIJK WETBOEK BOEK 3 ART.:303  BURGERLIJK WETBOEK BOEK 7 ART.:303  304  305  BURGERLIJK WETBOEK BOEK 8 ART.:790  FAILLISSEMENTSWET ART.:303  358  359  GEMEENTEWET ART.:303  RIJKSWET HOUDENDE MACHTIGING TOT DEELNEMING DOOR HET... ART.:1  RIJKSWET HOUDENDE MACHTIGING TOT VERHOGING VAN DE ... ART.:1  RIJKSWET MACHTIGING TOT DEELNEMING DOOR HET KONINKRIJK... ART.:1  UITVOERINGSWET EUROPEES VERDRAG INZAKE RECHTSPOSITIE... ART.:2  VERZAMELWET SOCIALE VERZEKERINGEN 2007 ART.:XIII  WEGENVERKEERSWET 1994 ART.:179a  WET ADMINISTRATIEFRECHTELIJKE HANDHAVING VERKEERSVOORSCHRIFT... ART.:44  WETBOEK VAN MILITAIR STRAFRECHT ART.:141  WETBOEK VAN STRAFRECHT ART.:303  304  304a  304b  305  43b  5  WETBOEK VAN STRAFVORDERING ART.:303  WET DUALISERING GEMEENTEBESTUUR ART.:VI  WET OP DE ARBEIDSONGESCHIKTHEIDSVERZEKERING ART.:10  WET OP DE OMZETBELASTING 1968 ART.:55  WET OP HET HOGER ONDERWIJS EN WETENSCHAPPELIJK ONDERZOEK ART.:18.28  18.29  18.30  WET OVERDRACHT TAKEN OGB ART.:III  WET PRIVATISERING ABP ART.:8  WET PRIVATISERING SPOORWEGPENSIOENFONDS ART.:6  WET RUIMTELIJKE ORDENING ART.:8.3  WET TARIEVEN IN BURGERLIJKE ZAKEN ART.:2  WET VERHOGING UITKERINGSHOOGTE ARBEIDSONGESCHIKTHEIDSWETTEN ART.:V  WET WERK EN INKOMEN NAAR ARBEIDSVERMOGEN ART.:123  ZIEKTEWET ART.:11   0 - 5 van de 72 zoekresultaten  algemene Wet Bijzondere Ziektekosten | artikel 16a wet / artikel  Burgerlijk Wetboek Boek 8 | artikel 790 wet / artikel  Wetboek van Burgerlijke Rechtsvordering | artikel 790 wet / artikel  [Vervallen per 01-01-2002] Wetboek van Koophandel | artikel 790 wet / artikel  [Vervallen per 01-04-1991] Burgerlijk Wetboek Boek 8 | artikel 790 wet / artikel  Een in de openbare registers teboekstaand binnenschip is een registergoed.   meer resultaten</ref>§</ref>
        for (int i = 0; i < len-1; i++)
        {
            num <<= 1;
            if (bitreader.inputBit())
                num |= 1;
        }
        intwriter.putInt(num);            // write out the value
    }
    bitreader.close();
    intwriter.close();
}

Generalizations

Elias delta coding does not code zero or negative integers. One way to code all non negative integers is to add 1 before coding and then subtract 1 after decoding. One way to code all integers is to set up a bijection, mapping integers all integers (0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ...) to strictly positive integers (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...) before coding. This bijection can be performed using the "ZigZag" encoding from Protocol Buffers (not to be confused with Zigzag code, nor the JPEG Zig-zag entropy coding).

References

^ ^a ^b Elias, Peter (March 1975). "Universal codeword sets and representations of the integers". IEEE Transactions on Information Theory. 21 (2): 194–203. doi:10.1109/tit.1975.1055349.

Encoding

Example code

Encoding

Decoding

Generalizations

References

See also