Simple theorems in the algebra of sets

We list without proof several simple properties of these operations. These properties can be visualized with Venn diagrams.

PROPOSITION 1: For any sets A, B, and C:

• A ∩ A = A;
• A ∪ A = A;
• A \ A = {};
• A ∩ B = B ∩ A;
• A ∪ B = B ∪ A;
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
• C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B);
• C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B);
• C \ (B \ A) = (A ∩ C) ∪ (C \ B);
• (B \ A) ∩ C = (B ∩ C) \ A = B ∩ (C \ A);
• (B \ A) ∪ C = (B ∪ C) \ (A \ C);
• A ⊆ B if and only if A ∩ B = A;
• A ⊆ B if and only if A ∪ B = B;
• A ⊆ B if and only if A \ B = {};
• A ∩ B = {} if and only if B \ A = B;
• A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B;
• A ∩ {} = {};
• A ∪ {} = A;
• {} \ A = {};
• A \ {} = A.

PROPOSITION 2: For any universal set U and subsets A, B, and C of U:

• A′′ = A;
• B \ A = A' ∩ B;
• (B \ A)' = A ∪ B';
• A ⊆ B if and only if B' ⊆ A';
• A ∩ U = A;
• A ∪ U = U;
• U \ A = A';
• A \ U = {}.

PROPOSITION 3 (distributive laws): For any sets A, B, and C:

(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

The above propositions show that the power set P(U) is a Boolean lattice.