Bump function

La gráfica de la función de relieve $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),$ donde $r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}$ y $\Psi (r)=e^{-1/(1-r^{2})}\cdot \ mathbf{1}_{\{|r|<1\}}.$

En matemáticas, una función de respuesta (también llamada función de prueba) es una función <matemática>f : \Reals^n \to \Reals</math> en un espacio euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ que es a la vez suave (en el sentido de tener continua derivadoss de todos los pedidos) y soporte compacto. El conjunto de todas las funciones de relieve con dominio $\mathbb {R} ^{n}$ forma un espacio vectorial, denotado $\mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ o $\mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$ El dual espacio de este espacio dotado de una topología adecuada es el espacio de distribuciones.

Ejemplos

right|thumb|280px|La función de aumento 1d $\Psi (x).$

La función $\Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dada por <visualización matemática="bloque">\Psi(x) = \begin{casos} \exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right), & x \in (-1,1) \\ 0, & \text{de lo contrario} \end{casos} = \exp\left( -\frac{1}{1 - \min(1, x^2)} \right)</math> es un ejemplo de una función de relieve en una dimensión. De la construcción se desprende claramente que esta función tiene soporte compacto, ya que una función de la recta real tiene soporte compacto si y sólo si tiene soporte cerrado acotado. La prueba de suavidad sigue la misma línea que para la función relacionada analizada en el artículo Función suave no analítica. Esta función se puede interpretar como la función gaussiana $\exp \left(-y^{2}\right)$ escalada para caber en el disco unitario: la sustitución $y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}$ corresponde a enviar $x=\pm 1$ a $y=\infty .$

Un ejemplo simple de una función de aumento (cuadrada) en $n$ variables se obtiene tomando el producto de $n$ copias de la función de aumento anterior en una variable, por lo que $\Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).$

Funciones de transición suave

right|frame|La función suave no analítica f(x) considerada en el artículo. Considere la función

Failed to parse (unknown function "\begin{cases}"): {\displaystyle f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x}}&\text{si }x>0,\\ 0&\text{si }x\le0,\ fin{casos}}

definido para cada número real x.

right|frame|La transición suave g de 0 a 1 definida aquí. La función

$g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,$

tiene un denominador estrictamente positivo en todas partes de la recta real, por lo que "g" también es suave. Además, g(x) = 0 para x ≤ 0 y g(x) =  1 para x ≥ 1, por lo que proporciona una transición suave del nivel 0 al nivel 1 en el intervalo unitario [0, 1 ]. Para tener una transición suave en el intervalo real [a, b] con a < b , considere la función

$\mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.$

Para números reales a < b < c < d, la función suave

$\mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}$

es igual a 1 en el intervalo cerrado [b, c] y desaparece fuera del intervalo abierto (a, d' '), por lo que puede servir como una función de realce.

Se debe tener precaución ya que, como ejemplo, tomando $\{a=-1\}<\{b=c=0\}<\{d=1\}$, se llega a:

$q(x)={\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}}$

que no es una función infinitamente diferenciable (por lo tanto, no es "suave"), por lo que las restricciones a < b < c < d deben cumplirse estrictamente.

Algunos datos interesantes sobre la función:

$q(x,a)={\frac {1}{1+e^{\frac {a(1-2|x|)}{x^{2}-|x|}}}}$

¿Es que $q\left(x,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ hace curvas de transición suaves con bordes de pendiente "casi" constantes (se comporta como líneas rectas inclinadas en un plano no -intervalo de medida cero).

Un ejemplo adecuado de una función Bump será:

<matemáticas>u(x)=\begin{casos}\frac{1}{1+e^{\frac{1-2|x|}{x^2-|x|}}}&\text{ si }|x|<1,\\ 0&\text{if }|x|\geq 1,\end{cases}</math>

Un ejemplo adecuado de una función de transición suave será:

<matemáticas>w(x)=\begin{casos}\frac{1}{1+e^{\frac{2x-1}{x^2-x}}}&\text{si }0<x <1,\\ 0&\text{if } x\leq 0,\\ 1&\text{if } x\geq 1,\end{cases}</math>

donde se puede observar que se puede representar también mediante Funciones hiperbólicas:

<matemáticas>\frac{1}{1+e^{\frac{2x-1}{x^2-x}}} = \frac{1}{2}\left( 1-\tanh\left( \