Classical electron radius

The classical electron radius is a combination of fundamental physical quantities that define a length scale for problems involving an electron interacting with electromagnetic radiation. It links the classical electrostatic self-interaction energy of a homogeneous charge distribution to the electron's relativistic mass–energy. According to modern understanding, the electron is a point particle with a point charge and no spatial extent. Attempts to model the electron as a non-point particle have been described as ill-conceived and counter-pedagogic. Nevertheless, it is useful to define a length that characterizes electron interactions in atomic-scale problems. The classical electron radius is given as (in SI units)

$r_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}=2.8179403227(19)\times 10^{-15}{\text{ m}},$

where $e$ is the elementary charge, $m_{\text{e}}$ is the electron mass, $c$ is the speed of light, and $\varepsilon _{0}$ is the permittivity of free space. This numerical value is several times larger than the radius of the proton.

In cgs units, the permittivity factor does not enter, but the classical electron radius has the same value.

The classical electron radius is sometimes known as the Lorentz radius or the Thomson scattering length. It is one of a trio of related scales of length, the other two being the Bohr radius $a_{0}$ and the Compton wavelength of the electron $\lambda _{\text{e}}$. The classical electron radius is built from the electron mass $m_{\text{e}}$, the speed of light $c$ and the electron charge $e$. The Bohr radius is built from $m_{\text{e}}$, $e$ and the Planck constant $h$. The Compton wavelength is built from $m_{\text{e}}$, $h$ and $c$. Any one of these three length scales can be written in terms of any other using the fine structure constant $\alpha$:

$r_{\text{e}}={{\hbar c\alpha } \over {m_{\text{e}}c^{2}}}={\lambda _{\text{e}}\alpha \over {2\pi }}={a_{0}\alpha ^{2}}.$

Дифференцирование

Классическая шкала длины радиуса электрона может быть мотивирована рассмотрением энергии, необходимой для сборки количества заряда $q$ в сферу заданного радиуса $r$. Электростатический потенциал на расстоянии $r$ от заряда $q$ равен

$V(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r}}$.

Чтобы вывести дополнительное количество заряда $dq$ из бесконечности, необходимо вложить в систему энергию $dU$ которая равна

$dU=V(r)dq$.

Если "предполагается", что сфера имеет постоянную плотность заряда $\rho$, то

$q=\rho {\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ и $dq=\rho 4\pi r^{2}dr$.

Выполнение интегрирования для $r$, начиная с нуля до конечного радиуса $r$, приводит к выражению для суммарнаю энергии $U$, необходимой для сборки полного заряда $q$ в однородную сферу радиуса $r$:

$U={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3}{5}}{\frac {q^{2}}{r}}$.

Это называется электростатической собственной энергией объекта. Заряд $q$ теперь интерпретируется как заряд электрона $e$; энергия $U$ устанавливается равной релятивистской масс-энергии электрона $mc^{2}$; числовой коэффициент 3/5 игнорируется как специфический для частного случая однородной плотности заряда. Затем радиус $r$ "определяется" как классический радиус электрона $r_{\text{e}}$ и мы приходим к выражению приведенному выше.

Обратите внимание, что дифференцирование не говорит, что $r_{\text{e}}$ это фактический радиус электрона. Оно только устанавливает пространственную связь между электростатической собственной энергией и масштабом массы-энергии электрона.

Discussion

The electron radius occurs in the classical limit of modern theories as well, such as non-relativistic Thomson scattering and the relativistic Klein–Nishina formula. Also, $r_{\text{e}}$ is roughly the length scale at which renormalization becomes important in quantum electrodynamics. That is, at short-enough distances, quantum fluctuations within the vacuum of space surrounding an electron begin to have calculable effects that have measurable consequences in atomic and particle physics.

See also

• Electromagnetic mass

Further reading

• CODATA value for the classical electron radius at NIST.
• Arthur N. Cox, Ed. "Allen's Astrophysical Quantities", 4th Ed, Springer, 1999.

External links

• Length Scales in Physics: the Classical Electron Radius