Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition

Ist $X$ ein Hilbertraum, so heißt ein Operator $A\in {\mathcal {L}}(X)$ normal, falls er mit seinem adjungierten Operator $A^{\ast }$ kommutiert, also wenn

$AA^{\ast }=A^{\ast }A$

gilt.

Dabei bezeichnet ${\mathcal {L}}(X)$ die Menge aller stetigen Endomorphismen von $X$. (In der Physik und bei den Ingenieurswissenschaften wird in Analogie zur Matrixtheorie der adjungierte Operator in der Regel nicht mit $A^{\ast }\,,$ sondern mit $A^{\dagger }$ bezeichnet.)

Eigenschaften

Sei $A\in {\mathcal {L}}(X)$ ein normaler Operator. Dann gilt:

• $\|Ax\|=\|A^{\ast }x\|$ für alle $x\in X$
• $\|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|$ für alle $x\in X$
• Die Operatornorm von $A$ ist gleich dem Spektralradius: $\|A\|=\sup\{|\lambda |\colon \lambda \in \sigma (A)\}.$ Dabei bezeichnet $\sigma (A)$ das Spektrum von $A$.
• Die von $A$ erzeugte C^*-Algebra und die von $A$ erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
• Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
• Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall $\{0\}$ ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
• Ein normaler Operator $A$ in einem komplexen Raum lässt sich zerlegen in $A=W_{1}+i\,W_{2}$ mit dem „Realteil" $W_{1}={\tfrac {1}{2}}(A+A^{\ast })$ und dem „Imaginärteil“ $W_{2}={\tfrac {1}{2i}}(A-A^{\ast }).$ Dabei sind die Operatoren $W_{i}$ selbstadjungiert und miteinander vertauschbar: $W_{1}W_{2}=W_{2}W_{1}.$

Ein Gegenbeispiel

Der folgende Absatz zeigt anhand eines expliziten Beispiels, dass es wichtige Abweichungen von der Bedingung der „Normalität“ und den oben angegebenen Eigenschaften gibt:

In der Quantenmechanik spielen die sog. Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren, $a^{\pm }\,,$ eine große Rolle. Sie treten als sog. „Leiter-Operatoren“ schon beim elementarsten Problem der Quantenmechanik, dem sog. „harmonischen Oszillator“, auf.  Sie sind wichtige Beispiele für nicht-normale Operatoren, und im Gegensatz zu den „normalen Operatoren“ sind die Erzeugungsoperatoren tatsächlich  nicht  diagonalisierbar, was aber nicht leicht zu beweisen ist. Sie sind zwar von derselben Form wie gerade angegeben und deshalb auf den ersten Blick „normal“: $a^{\pm }:={\hat {w}}_{1}\mp i\,{\hat {w}}_{2}\,,$ mit ${\hat {w}}_{i}={{\hat {w}}_{i}}^{\dagger }\,.$ Aber ${\hat {w}}_{1}\,\,(\propto {\hat {x}})$ und ${\hat {w}}_{2}\,\,(\propto {\hat {p}})$ sind im Gegensatz zu ${\hat {W}}_{1}$ und ${\hat {W}}_{2}$  nicht  miteinander vertauschbar, weil Orts- und Impulsoperator  nicht  miteinander kommutieren: ${\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar \cdot Id.\,,$ mit dem Identitätsoperator $Id.$ und der reduzierten Planckschen Konstante $\hbar =h/(2\pi )\,.$ In der Tat gilt abweichend von der Forderung an „normale Operatoren“ für die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren nicht $a^{-}a^{+}\,-\,a^{+}a^{-}=0\,,$ sondern $a^{-}a^{+}\,-\,a^{+}a^{-}=1\,.$

Verwandte Begriffe

Ein Operator $A\in {\mathcal {L}}(X)$ heißt

• quasinormal, falls $A\,\!$ mit $A^{\ast }A$ vertauscht, das heißt $AA^{\ast }A=A^{\ast }AA$.
• subnormal, falls es einen Hilbertraum $Y$ gibt, so dass $X$ Unterraum von $Y$ ist, und einen normalen Operator $B\in {\mathcal {L}}(Y)$, so dass $B(X)\subset X$ und $A=B|_{X}\,\!$
• hyponormal, falls $\|A^{\ast }x\|\leq \|Ax\|$ für alle $x\in X$.
• paranormal, falls $\|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|$ für alle $x\in X$.
• normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.: $\|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}$.

Es gelten folgende Implikationen:

normal $\Rightarrow$ quasinormal $\Rightarrow$ subnormal $\Rightarrow$ hyponormal $\Rightarrow$ paranormal $\Rightarrow$ normaloid.

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.