Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra. Ist $X$ ein Hilbertraum, so heißt ein Operator $A\in {\mathcal {L}}(X)$ normal, falls er mit seiner Adjungierten $A^{\ast }$ kommutiert, d.h. wenn

$AA^{\ast }=A^{\ast }A.$

Dabei bezeichnet ${\mathcal {L}}(X,Y)$ die Menge aller stetigen linearen Abbildungen von $X$ nach $Y$ und ${\mathcal {L}}(X):={\mathcal {L}}(X,X)$ die Menge der stetigen Endomorphismen von $X$.

(In der Physik und bei den Ingenieuren wird - Analogie zur Matrixtheorie - der adjungierte Operator in der Regel nicht mit $A^{\ast }\,,$ sondern mit $A^{\dagger }$ bezeichnet.)

Eigenschaften

Sei $A\in {\mathcal {L}}(X)$ ein normaler Operator. Dann gilt:

• $\|Ax\|=\|A^{\ast }x\|$ für alle $x\in X$
• $\|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|$ für alle $x\in X$
• Operatornorm = Spektralradius, d.h.: $\|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}$
• Die von $A$ erzeugte C^*-Algebra und die von $A$ erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
• Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
• Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall $\{0\}$ ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
• Ein normaler Operator $A$ in einem komplexen Raum besteht aus einem „Realteil",   ${\hat {W}}_{1}=(A+A^{\dagger })/{2}\,,$ und einem „Imaginärteil“,   ${\hat {W}}_{2}=(A-A^{\dagger })/(2i)\,.$. Dabei ist $A^{\dagger }$ der zu $A$ gehörige adjungierte Operator. - Es gilt also $A={\hat {W}}_{1}+i\,{\hat {W}}_{2}\,,$ wobei die ${\hat {W}}_{i}$ selbstadjungiert und miteinander vertauschbar sind, ${\hat {W}}_{1}{\hat {W}}_{2}={\hat {W}}_{2}{\hat {W}}_{1}\,.$

Ein Gegenbeispiel

Der folgende Absatz zeigt anhand eines expliziten Beispiels, dass es wichtige Abweichungen von der Bedingung der „Normalität“ und den oben angegebenen Eigenschaften gibt:

In der Quantenmechanik spielen die sog. Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren, $a^{\pm }\,,$ eine große Rolle. Sie treten als sog. „Leiter-Operatoren“ schon beim elementarsten Problem der Quantenmechanik, dem sog. „harmonischen Oszillator“, auf.  Sie sind wichtige Beispiele für nicht-normale Operatoren, und im Gegensatz zu den „normalen Operatoren“ sind die Erzeugungsoperatoren tatsächlich  nicht  diagonalisierbar, was aber nicht leicht zu beweisen ist. Sie sind zwar von derselben Form wie gerade angegeben und deshalb auf den ersten Blick „normal“: $a^{\pm }:={\hat {w}}_{1}\mp i\,{\hat {w}}_{2}\,,$ mit ${\hat {w}}_{i}={{\hat {w}}_{i}}^{\dagger }\,.$ Aber ${\hat {w}}_{1}\,\,(\propto {\hat {x}})$ und ${\hat {w}}_{2}\,\,(\propto {\hat {p}})$ sind im Gegensatz zu ${\hat {W}}_{1}$ und ${\hat {W}}_{2}$  nicht  miteinander vertauschbar, weil Orts- und Impulsoperator  nicht  miteinander kommutieren: ${\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar \cdot Id.\,,$ mit dem Identitätsoperator $Id.$ und der reduzierten Planckschen Konstante $\hbar =h/(2\pi )\,.$ In der Tat gilt nicht $a^{-}a^{+}\,-\,a^{+}a^{-}=0\,,$ sondern $a^{-}a^{+}\,-\,a^{+}a^{-}=1\,.$

Verwandte Begriffe

Ein Operator $A\in {\mathcal {L}}(X)$ heißt

• quasinormal, falls $A\,\!$ mit $A^{\ast }A$ vertauscht, das heißt $AA^{\ast }A=A^{\ast }AA$.
• subnormal, falls es einen Hilbertraum $Y$ gibt, so dass $X$ Unterraum von $Y$ ist, und einen normalen Operator $B\in {\mathcal {L}}(Y)$, so dass $B(X)\subset X$ und $A=B|_{X}\,\!$
• hyponormal, falls $\|A^{\ast }x\|\leq \|Ax\|$ für alle $x\in X$.
• paranormal, falls $\|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|$ für alle $x\in X$.
• normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.: $\|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}$.

Es gelten folgende Implikationen:

normal $\Rightarrow$ quasinormal $\Rightarrow$ subnormal $\Rightarrow$ hyponormal $\Rightarrow$ paranormal $\Rightarrow$ normaloid.

Quellen

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.