Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra. Ist $X$ ein Hilbertraum, so heißt ein Operator $A\in {\mathcal {L}}(X)$ normal, falls er mit seiner Adjungierten $A^{\ast }$ kommutiert, d.h. wenn

$AA^{\ast }=A^{\ast }A.$

Dabei bezeichnet ${\mathcal {L}}(X,Y)$ die Menge aller stetigen linearen Abbildungen von $X$ nach $Y$ und ${\mathcal {L}}(X):={\mathcal {L}}(X,X)$ die Menge der stetigen Endomorphismen von $X$.

(In der Physik und bei den Ingenieuren wird - Analogie zur Matrixtheorie - der adjungierte Operator in der Regel nicht mit $A^{\ast }\,,$ sondern mit $A^{\dagger }$ bezeichnet.)

Eigenschaften

Sei $A\in {\mathcal {L}}(X)$ ein normaler Operator. Dann gilt:

• $\|Ax\|=\|A^{\ast }x\|$ für alle $x\in X$
• $\|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|$ für alle $x\in X$
• Operatornorm = Spektralradius, d.h.: $\|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}$
• Die von $A$ erzeugte C^*-Algebra und die von $A$ erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
• Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
• Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall $\{0\}$ ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
• Ein normaler Operator $A$ in einem komplexen Raum besteht aus einem „Realteil",   ${\hat {W}}_{1}=(A+A^{\dagger })/{2}\,,$ und einem „Imaginärteil“,   ${\hat {W}}_{2}=(A-A^{\dagger })/(2i)\,.$. Dabei ist $A^{\dagger }$ der zu $A$ gehörige adjungierte Operator. - Es gilt also $A={\hat {W}}_{1}+i\,{\hat {W}}_{2}\,,$ wobei die ${\hat {W}}_{i}$ selbstadjungiert und miteinander vertauschbar sind, ${\hat {W}}_{1}{\hat {W}}_{2}={\hat {W}}_{2}{\hat {W}}_{1}\,.$

(In der Quantenmechanik spielen die sog. Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren, $a^{\pm }\,,$eine große Rolle. Sie sind wichtige Beispiele für nichtnormale Operatoren und folglich im Allgemeinen nicht diagonalisierbar. Sie sind zwar scheinbar von derselben Form wie gerade angegeben, $a^{\pm }:={\hat {W}}_{1}\mp i\,{\hat {W}}_{2}\,,$ aber jetzt sind ${\hat {W}}_{1}\,\,(\sim {\hat {x}})$ und ${\hat {W}}_{2}\,\,(\sim {\hat {p}})\,,$  nicht  miteinander vertauschbar, weil Orts- und Impulsoperator nicht miteinander kommutieren: ${\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar \,{\text{id.}}\,,$ mit den Identitätsoperator id. und der reduzierten Planckschen Konstante $\hbar =h/(2\pi )\,.$ In der Tat gilt nicht $a^{+}a^{-}\,-\,a^{-}a^{+}=0\,,$ sondern $a^{+}a^{-}\,-\,a^{-}a^{+}=1\,.)$

Verwandte Begriffe

Ein Operator $A\in {\mathcal {L}}(X)$ heißt

• quasinormal, falls $A\,\!$ mit $A^{\ast }A$ vertauscht, das heißt $AA^{\ast }A=A^{\ast }AA$.
• subnormal, falls es einen Hilbertraum $Y$ gibt, so dass $X$ Unterraum von $Y$ ist, und einen normalen Operator $B\in {\mathcal {L}}(Y)$, so dass $B(X)\subset X$ und $A=B|_{X}\,\!$
• hyponormal, falls $\|A^{\ast }x\|\leq \|Ax\|$ für alle $x\in X$.
• paranormal, falls $\|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|$ für alle $x\in X$.
• normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.: $\|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}$.

Es gelten folgende Implikationen:

normal $\Rightarrow$ quasinormal $\Rightarrow$ subnormal $\Rightarrow$ hyponormal $\Rightarrow$ paranormal $\Rightarrow$ normaloid.

Quellen

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.