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In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra . Ist
X
{\displaystyle X}
Hilbertraum , so heißt ein Operator
A
∈
L
(
X
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)}
Adjungierten
A
∗
{\displaystyle A^{\ast }}
A
A
∗
=
A
∗
A
.
{\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A.}
Dabei bezeichnet
L
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}
stetigen linearen Abbildungen von
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
L
(
X
)
:=
L
(
X
,
X
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(X):={\mathcal {L}}(X,X)}
Endomorphismen von
X
{\displaystyle X}
Eigenschaften
Sei
A
∈
L
(
X
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)}
‖
A
x
‖
=
‖
A
∗
x
‖
{\displaystyle \|Ax\|=\|A^{\ast }x\|}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
‖
A
x
‖
2
≤
‖
A
2
x
‖
‖
x
‖
{\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
Operatornorm = Spektralradius , d.h.:
‖
A
‖
=
sup
{
|
λ
|
;
λ
∈
σ
(
A
)
}
{\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}}
Die von
A
{\displaystyle A}
C* -Algebra und die von
A
{\displaystyle A}
Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül .
Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes .
Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren , indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
Calkin-Algebra ausgeführt.
Verwandte Begriffe
Ein Operator
A
∈
L
(
X
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)}
quasinormal , falls
A
{\displaystyle A\,\!}
A
∗
A
{\displaystyle A^{\ast }A}
A
A
∗
A
=
A
∗
A
A
{\displaystyle AA^{\ast }A=A^{\ast }AA}
subnormal , falls es einen Hilbertraum
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
B
∈
L
(
Y
)
{\displaystyle B\in {\mathcal {L}}(Y)}
B
(
X
)
⊂
X
{\displaystyle B(X)\subset X}
A
=
B
|
X
{\displaystyle A=B|_{X}\,\!}
hyponormal , falls
‖
A
∗
x
‖
≤
‖
A
x
‖
{\displaystyle \|A^{\ast }x\|\leq \|Ax\|}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
paranormal , falls
‖
A
x
‖
2
≤
‖
A
2
x
‖
‖
x
‖
{\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
normaloid , falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.:
‖
A
‖
=
sup
{
|
λ
|
;
λ
∈
σ
(
A
)
}
{\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}}
Es gelten folgende Implikationen:
normal
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Quellen
